Fiche de révision : Équations du second degré complexes

📋 Plan du Cours

1. Construction des complexes, forme algébrique et partie réelle
2. Représentation géométrique des complexes
3. Calculs et puissances complexes
4. Équations et produit nul
5. Calcul littéral dans les complexes
6. Propriétés du conjugué complexe
7. Équations complexes du second degré et discriminant
8. Factorisation et relations entre racines
9. Calcul du discriminant réduit
10. Affixes des vecteurs et des points
11. Applications, points invariants et conjugaison complexe
12. Homothéties et inversions planes
13. Racines carrées complexes
14. Polynômes complexes et racines
15. Nombres complexes en Python

📖 1. Construction des complexes, forme algébrique et partie réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Élément de l’ensemble ℂ, qui contient ℝ et prolonge ses opérations en conservant les mêmes règles de calcul que dans ℝ.
• Partie réelle : La partie réelle d’un complexe $z=a+ib$ est le réel $a$, noté $\operatorname{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : La partie imaginaire d’un complexe $z=a+ib$ est le réel $b$, noté $\operatorname{Im}(z)$.

★ À maîtriser

• Le passage de ℝ à ℂ permet de résoudre l’équation $x^2+1=0$, sans conserver la relation d’ordre de ℝ.

• Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb{R}$.

📌 Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles respectives et leurs parties imaginaires respectives sont égales.

Compléments

• L’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes, soit $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

• Le nombre imaginaire $i$ vérifie $i^2=-1$.

📌 Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, et il est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.

• L’ensemble des imaginaires purs, noté $i\mathbb{R}$, est formé des nombres de la forme $ib$ avec $b\in\mathbb{R}$; son intersection avec ℝ est $\{0\}$.

📌 Un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux nulles.

💡 Astuce mémo

Les complexes résolvent une équation impossible dans ℝ, mais font perdre la relation d’ordre.

📖 2. Représentation géométrique des complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, l’affixe du point $M(x;y)$ est le complexe $z=x+iy$, et $M$ est l’image de $z$.

📝 Points essentiels

• Le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct est appelé le plan complexe.

• Dans le plan complexe, l’axe porté par $\vec u$ est l’axe des réels et l’axe porté par $\vec v$ est l’axe des imaginaires purs.

💡 Astuce mémo

Imagine le plan complexe comme une carte : la partie réelle donne l’abscisse et la partie imaginaire l’ordonnée.

📖 3. Calculs et puissances complexes

★ À maîtriser

📌 Les opérations sur les complexes suivent les règles de calcul de ℝ, avec la relation $i^2=-1$; tout complexe non nul admet un inverse multiplicatif.

📐 Formule - Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, leur produit vérifie $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$.

• Les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ : $i^{4p}=1$, $i^{4p+1}=i$, $i^{4p+2}=-1$ et $i^{4p+3}=-i$ pour tout entier naturel $p$.

Compléments

📐 Formule - Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, leur somme vérifie $z+z'=(a+a')+i(b+b')$.

📐 Formule - Pour $z=a+ib\ne0$, son inverse est $\frac1z=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Les identités remarquables donnent $(a+ib)^2=(a^2-b^2)+2abi$, $(a-ib)^2=(a^2-b^2)-2abi$ et $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.

📌 Dans ℂ, un produit $zz'$ est nul si et seulement si $z=0$ ou $z'=0$.

💡 Astuce mémo

Les puissances de i tournent en cycle : 1, i, −1, −i, puis recommencent.

📖 4. Équations et produit nul

📝 Points essentiels

• Pour résoudre l’équation $2z+i=iz-1$, on isole $z$ puis on divise par son coefficient complexe non nul, ce qui donne $z=\frac{-1-3i}{5}$.

📖 5. Calcul littéral dans les complexes

★ À maîtriser

• Pour exprimer les parties réelle et imaginaire d’un quotient complexe en fonction de deux réels, on écrit d’abord le numérateur et le dénominateur sous forme algébrique, puis on multiplie par le conjugué du dénominateur et on développe le numérateur et le dénominateur.

Compléments

• Pour factoriser $z^2+1$ dans ℂ, on utilise $i^2=-1$, puis l’identité remarquable $z^2-i^2=(z+i)(z-i)$.

• Pour $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$ et $Z=z^2-2z+3$, la forme algébrique est $Z=(x^2-y^2-2x+3)+i(2xy-2y)$.

• Pour $Z=z^2-2z+3$ avec $z=x+iy$, on obtient $\operatorname{Re}(Z)=x^2-y^2-2x+3$.

📖 6. Propriétés du conjugué complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué d’un nombre complexe : Le nombre complexe $a-ib$, où $a,b\in\mathbb R$.

★ À maîtriser

📌 Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$.

📌 Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$.

📐 Formule - Pour tout complexe $z$, $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$.

📌 Un complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline z=z$, et il est imaginaire pur si et seulement si $\overline z=-z$.

Compléments

• Dans le plan complexe, l’image de $\overline z$ est le symétrique de l’image de $z$ par rapport à l’axe des réels.

• Le conjugué du conjugué de $z$ est $z$.

• Deux nombres complexes $z$ et $z'$ sont égaux si et seulement si leurs conjugués sont égaux : $z=z'\Longleftrightarrow\overline z=\overline{z'}$.

• Le conjugué d’une différence est la différence des conjugués : $\overline{z-z'}=\overline z-\overline{z'}$.

• Le conjugué d’un produit de plusieurs facteurs est le produit des conjugués de ces facteurs.

• Pour tout entier naturel non nul $n$, le conjugué d’une puissance vérifie $\overline{z^n}=(\overline z)^n$.

• Pour tout complexe non nul $z$, le conjugué de son inverse vérifie $\overline{\frac1z}=\frac1{\overline z}$.

• Pour $z'\ne0$, le conjugué d’un quotient vérifie $\overline{\frac z{z'}}=\frac{\overline z}{\overline{z'}}$.

📖 7. Équations complexes du second degré et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme complexe $P$ est un nombre complexe $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$.

★ À maîtriser

📌 Pour l’équation $z^2=a$ avec $a\in\mathbb R$, si $a>0$ les solutions sont $\sqrt a$ et $-\sqrt a$; si $a=0$ l’unique solution est $0$; si $a<0$ les solutions sont $i\sqrt{-a}$ et $-i\sqrt{-a}$.

📐 Formule - Pour des réels $a,b,c$ avec $a\ne0$, on pose $\Delta=b^2-4ac$; après division par $a$ et complétion du carré, $z^2+\frac ba z+\frac ca=\left(z+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}$.

• Si $\Delta>0$, l’équation $az^2+bz+c=0$ admet deux racines réelles distinctes $z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation $az^2+bz+c=0$ admet une racine réelle double $z_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l’équation $az^2+bz+c=0$ admet deux racines complexes conjuguées $z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Compléments

• L’équation $z^2=-9$ a pour solutions $3i$ et $-3i$.

• Pour résoudre une équation de la forme $(z-u)^2=-v^2$ avec $v>0$, on prend les deux racines carrées opposées du second membre, puis on isole $z$.

• Pour résoudre $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb R$ et $a\ne0$, on divise par $a$, complète le carré et utilise que $\Delta=b^2-4ac$ est réel.

📐 Formule - Pour tout $z\in\mathbb{C}$, $az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif : deux racines réelles ; nul : une racine double ; négatif : deux racines conjuguées.

📖 8. Factorisation et relations entre racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines, éventuellement confondues, de $f(z)=az^2+bz+c$, alors $f(z)=a(z-z_1)(z-z_2)$.

📐 Formule - Pour les racines $z_1,z_2$ de $az^2+bz+c=0$, leur somme vaut $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Pour les racines $z_1,z_2$ de $az^2+bz+c=0$, leur produit vaut $z_1z_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux nombres complexes $a,b$ de somme $S=a+b$ et de produit $P=ab$, l’identité est $(z-a)(z-b)=z^2-Sz+P$.

📌 Si deux nombres sont solutions de $z^2-Sz+P=0$, leur somme est $S$ et leur produit est $P$.

📖 9. Calcul du discriminant réduit

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$, on peut poser $b'=\frac{b}{2}$ et calculer le discriminant réduit $\Delta'=b'^2-ac$.

📖 10. Affixes des vecteurs et des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un vecteur : L’affixe du vecteur de coordonnées cartésiennes $(x;y)$ est le nombre complexe $x+iy$.

★ À maîtriser

• Pour deux points $A$ et $B$ d’affixes $z_A$ et $z_B$, l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$.

📐 Formule - Le milieu du segment $[AB]$, où $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, a pour affixe $\frac{z_A+z_B}{2}$.

Compléments

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.

• L’affixe de la somme de deux vecteurs d’affixes $z$ et $z'$ est $z+z'$.

• Pour $\lambda\in\mathbb{R}$, le vecteur obtenu en multipliant un vecteur d’affixe $z$ par $\lambda$ a pour affixe $\lambda z$.

📐 Formule - Le barycentre de $(A;a)$ et $(B;b)$, avec $a,b\in\mathbb{R}$ et $a+b\ne0$, a pour affixe $\frac{az_A+bz_B}{a+b}$.

📖 11. Applications, points invariants et conjugaison complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Application du plan complexe : Une application du plan complexe associe à tout point $M$ d’un plan, ou d’une partie du plan, un point image $M'$ du même plan.
• Point invariant : Un point invariant par une application f est un point confondu avec son image, et son affixe vérifie l’équation $z'=z$.
• Transformation du plan complexe : Une transformation du plan complexe est une bijection du plan dans lui-même, de sorte que tout point du plan possède un unique antécédent.
• Expression complexe : L’expression de l’affixe $z'$ de l’image en fonction de l’affixe $z$ du point initial est appelée l’expression complexe de l’application.
• Point invariant : Un point est invariant par une application si son image est le point lui-même.

★ À maîtriser

• La conjugaison complexe $z\mapsto\overline z$ représente la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des réels.

Compléments

• Pour une application définie par $z'=z^2$, les images des points d’affixes $3$ et $1+i$ ont respectivement pour affixes $9$ et $2i$.

📌 Pour déterminer les points invariants d’une application, on résout l’équation $z'=z$.

• Pour l’application $z'=z^2$, les points invariants ont pour affixes 0 et 1.

• L’application $z\mapsto -z$ représente la symétrie centrale de centre l’origine du repère.

• L’application $z\mapsto -\overline z$ représente la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des imaginaires purs.

• L’application $z\mapsto\operatorname{Re}(z)$ représente la projection orthogonale sur l’axe des réels, tandis que $z\mapsto i\operatorname{Im}(z)$ représente la projection orthogonale sur l’axe des imaginaires purs.

• L’application $z\mapsto iz$ représente la rotation de centre O et d’angle $\frac{\pi}{2}$.

📖 12. Homothéties et inversions planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Une homothétie de centre O et de rapport réel non nul k associe à tout point M le point M' tel que $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$.
• Inversion de puissance k : L’inversion plane de pôle O et de puissance k, avec k strictement positif, associe à tout point M différent de O un point M' de la demi-droite [OM) tel que $\overrightarrow{OM'}=\frac{k\overrightarrow{OM}}{OM^2}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’expression complexe de l’homothétie de centre O et de rapport k est $z'=kz$.

• L’expression complexe de l’inversion plane de pôle O et de puissance k est $z'=\frac{k}{\overline z}$.

• L’image d’une droite passant par O, privée de O, par une inversion plane est cette même droite privée de O.

• L’image d’un cercle passant par O, privé de O, par une inversion plane est une droite.

💡 Astuce mémo

L’homothétie multiplie la distance au centre par k ; l’inversion la transforme en k/OM.

📖 13. Racines carrées complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée complexe : Un nombre complexe w est une racine carrée d’un nombre complexe z lorsque $w^2=z$.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre complexe admet deux racines carrées complexes opposées, et on n’emploie pas le symbole radical pour les désigner.

Compléments

• Le nombre $2+i$ est une racine carrée de $3+4i$, car $(2+i)^2=3+4i$.

📖 14. Polynômes complexes et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme complexe : Un polynôme complexe est une expression définie pour tout nombre complexe et de la forme $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0$, avec des coefficients complexes et $a_n\ne0$.
• Racine d’un polynôme : Une racine, ou un zéro, d’un polynôme P est une solution de l’équation $P(z)=0$.
• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul.

★ À maîtriser

📌 Si z₀ est une racine de P, alors il existe un polynôme Q tel que $P(z)=(z-z_0)Q(z)$.

📌 Si un polynôme à coefficients réels admet z₀ comme racine, il admet aussi son conjugué $\overline{z_0}$ comme racine.

Compléments

• Dans un polynôme complexe, z est la variable, les nombres a₀ à aₙ sont les coefficients et les termes aₖzᵏ sont les monômes.

• L’écriture développée réduite d’un polynôme est unique, donc ses coefficients sont uniques.

📌 Si un polynôme P a des coefficients réels, alors $P(\overline z)=\overline{P(z)}$ pour tout nombre complexe z.

📖 15. Nombres complexes en Python

★ À maîtriser

• En Python, la lettre j désigne l’unité imaginaire i et doit être précédée d’un nombre, par exemple 3+i s’écrit 3+1j et i s’écrit 1j.

• En Python, z.real renvoie la partie réelle, z.imag la partie imaginaire et z.conjugate() le conjugué de z.

Compléments

• En Python, les opérations sur les complexes utilisent les opérateurs usuels, par exemple (1+2j)+(2+3j) donne (3+5j) et (1+1j)*(1-2j) donne (3-1j).