QCM : Équations du second degré complexes (36 questions)

Question 1

1. Pourquoi introduit-on un ensemble plus vaste que $\mathbb{R}$ pour résoudre $x^2+1=0$ ?

Pour remplacer les règles de calcul réelles par de nouvelles règles

Pour que l’équation ait des solutions, en abandonnant la relation d’ordre de

\mathbb{R}

Pour rendre l’équation soluble dans

\mathbb{R}

sans étendre cet ensemble

Pour conserver l’ordre de

\mathbb{R}

tout en ajoutant des solutions à l’équation

Explication

Le passage de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$ rend possible la résolution de cette équation, mais la relation d’ordre de $\mathbb{R}$ n’est pas conservée. L’option sur la conservation de l’ordre oublie cette perte, celle qui suppose une solution réelle nie l’insolubilité dans $\mathbb{R}$ , et celle qui modifie les règles de calcul contredit leur prolongement.

Answer

Pour que l’équation ait des solutions, en abandonnant la relation d’ordre de $$\mathbb{R}$$

Question 2

2. Quelle description caractérise l’ensemble $\mathbb{C}$ et ses opérations ?

Un ensemble formé des nombres non réels, où les opérations gardent les mêmes règles de calcul

Un ensemble contenant

\mathbb{R}

, où les opérations suivent de nouvelles règles de calcul

Un ensemble remplaçant

\mathbb{R}

, où les opérations gardent les mêmes règles de calcul

Un ensemble contenant

\mathbb{R}

, où les opérations prolongées gardent les mêmes règles de calcul

Explication

$\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ et prolonge ses opérations en conservant les mêmes règles de calcul. Remplacer $\mathbb{R}$ confond extension et substitution, changer les règles contredit leur conservation, et exclure les réels méconnaît l’inclusion de $\mathbb{R}$ .

Answer

Un ensemble contenant $$\mathbb{R}$$, où les opérations prolongées gardent les mêmes règles de calcul

Question 3

3. Pour $z=-2+7i$ , quelle écriture donne ses deux composantes réelles dans la forme algébrique unique ?

a=-2

et

b=7i

a=7

et

b=-2

a=-2

et

b=7

a=2

et

b=7

Explication

Dans la forme $z=a+ib$ , les coefficients $a$ et $b$ sont réels ; ici, $a=-2$ et $b=7$ . L’inversion échange les deux coefficients, $b=7i$ confond le coefficient avec le terme imaginaire, et $a=2$ perd le signe négatif.

Answer

$$a=-2$$ et $$b=7$$

Question 4

4. Si $z=4-3i$ , quelle valeur correspond à $\operatorname{Re}(z)$ ?

5

-3

-3i

4

Explication

Pour $z=a+ib$ , la partie réelle est le coefficient réel $a$ ; ainsi, $\operatorname{Re}(4-3i)=4$ . La valeur $-3$ est la partie imaginaire, $-3i$ est le terme imaginaire, et $5$ correspond au module.

Answer

L’axe des imaginaires purs

Answer

Le remplacer par $$-1$$

Answer

Mettre numérateur et dénominateur sous forme algébrique, puis multiplier par le conjugué du dénominateur et développer.

Answer

$$z^2-i^2=(z+i)(z-i)$$

Answer

$$\overline z+\overline{z'}$$

Answer

$$\overline z\,\overline{z'}$$

Answer

Dans les imaginaires purs.

Answer

$$5i$$ et $$-5i$$

Answer

$$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$$ et $$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Answer

$$-1+2i$$ et $$-1-2i$$

Answer

$$3(z-2)(z+1)$$

Answer

Elle associe un point image du même plan à chaque point considéré.

Answer

Les solutions de $$z'=z$$, donc $$z^2=z$$.

Answer

La symétrie orthogonale par rapport à l’axe des réels.

Answer

$$\overrightarrow{OM'}=-3\overrightarrow{OM}$$

Answer

$$\overrightarrow{OM'}=\frac{12\overrightarrow{OM}}{OM^2}$$

Answer

Elle a cette forme avec des coefficients complexes et un coefficient dominant non nul

Answer

$$P(r)=0$$

Answer

$$P(z)=(z-(2-i))Q(z)$$ pour un polynôme $$Q$$

Answer

2, -5 et 2+5j

Question 5

5. Dans un repère orthonormé direct, quel est l’affixe du point $M(-3;2)$ ?

-3+2i

3+2i

2-3i

-3+2

Explication

L’affixe d’un point $M(x;y)$ est $z=x+iy$ ; avec $x=-3$ et $y=2$ , elle vaut $-3+2i$ . L’affixe $2-3i$ inverse les coordonnées, $-3+2$ omet le facteur $i$ , et $3+2i$ change le signe de l’abscisse.

Question 6

6. Dans le plan complexe, quel axe est porté par le vecteur $\vec v$ du repère orthonormé direct ?

L’axe des réels

L’axe des abscisses

L’axe des imaginaires purs

L’axe des ordonnées réelles

Explication

Dans le plan complexe, l’axe porté par $\vec v$ est celui des imaginaires purs, tandis que l’axe porté par $\vec u$ est celui des réels. Associer les réels à $\vec v$ inverse les deux axes, et parler d’abscisses ou d’ordonnées réelles confond ces axes avec les coordonnées usuelles.

Question 7

7. Pour un entier naturel $p$ , quelle est la valeur de $i^{4p+3}$ ?

-1

i

-i

1

Explication

Les puissances de $i$ ont une période de 4 et $i^{4p+3}=-i$ . La valeur $i$ correspond au reste 1, $-1$ au reste 2 et $1$ au reste 0.

Question 8

8. Un calcul sur des nombres complexes contient le facteur $i^2$ . Quelle substitution permet de poursuivre le calcul en respectant les règles de multiplication ?

Le remplacer par

-i

Le remplacer par

1

Le remplacer par

-1

Le remplacer par

i

Explication

Dans les calculs complexes, on suit les règles usuelles de calcul en tenant compte de l’identité $i^2=-1$ . Remplacer par $1$ oublie le signe, tandis que $i$ et $-i$ ne sont pas la valeur du carré.

Question 9

9. Pour un quotient complexe dont le numérateur et le dénominateur dépendent de réels, quelle démarche permet d’obtenir ses parties réelle et imaginaire ?

Mettre numérateur et dénominateur sous forme algébrique, puis multiplier par le conjugué du dénominateur et développer.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur, puis développer les deux expressions.

Développer séparément le numérateur et le dénominateur, puis diviser leurs parties réelle et imaginaire correspondantes.

Identifier les parties réelle et imaginaire dans les expressions initiales, puis les simplifier sans développer le quotient.

Explication

Le conjugué du dénominateur transforme celui-ci en une expression réelle après développement; il faut donc d’abord écrire numérateur et dénominateur sous forme algébrique. Diviser les parties correspondantes ou conjuguer le numérateur ne suit pas cette méthode.

Question 10

10. Pour factoriser $z^2+1$ dans $\mathbb C$ , quelle identité faut-il utiliser après avoir réécrit $1$ à l’aide de $i^2=-1$ ?

z^2-i^2=(z+i)(z-i)

z^2-i^2=(z-i)(z-i)

z^2+i^2=(z+i)(z+i)

z^2+i^2=(z-i)(z+i)

Explication

Comme $i^2=-1$ , on a $z^2+1=z^2-i^2$ , puis la différence de deux carrés donne $(z+i)(z-i)$ . Le produit avec deux facteurs identiques correspond à un carré, tandis que traiter $i^2$ comme $1$ change le signe.

Question 11

11. Quel est le conjugué de $z=4-3i$ ?

4+3i

-4+3i

-4-3i

4-3i

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire. $-4+3i$ est l’opposé de $4-3i$ , tandis que $4-3i$ est le nombre lui-même.

Question 12

12. Si $z=2+5i$ et $z'=3-i$ , quelle expression donne $\overline{z+z'}$ en utilisant la propriété du conjugué d’une somme ?

\overline z\,\overline{z'}

\overline z+\overline{z'}

\overline z+z'

\overline z-\overline{z'}

Explication

Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$ . Conjuguer un seul terme ou remplacer l’addition par une soustraction ne respecte pas cette règle.

Question 13

13. Pour $z=1+2i$ et $z'=3-i$ , quelle expression représente le conjugué du produit $zz'$ selon la règle du conjugué d’un produit ?

\overline z\,\overline{z'}

z\,\overline{z'}

\overline z+\overline{z'}

\overline z\,z'

Explication

Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués, soit $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$ . La somme des conjugués applique la règle de l’addition, et conjuguer un seul facteur ne donne pas la règle attendue.

Question 14

14. Un complexe $w$ vérifie $\overline w=-w$ . Dans quelle catégorie se trouve-t-il ?

Dans les nombres réels.

Dans les imaginaires purs.

Dans les complexes dont le conjugué est égal au nombre.

Dans les complexes non nuls dont le conjugué est égal au nombre.

Explication

Un complexe est imaginaire pur si et seulement si son conjugué est son opposé, c’est-à-dire $\overline w=-w$ . La condition $\overline w=w$ caractérise les réels; la relation donnée ne contraint pas le complexe à être nul.

Question 15

15. On résout dans les nombres complexes l’équation $z^2=-25$ . Quelles sont ses solutions ?

5i

seulement

5i

et

-5i

25i

et

-25i

5

et

-5

Explication

Pour $a<0$ , les solutions de $z^2=a$ sont $i\sqrt{-a}$ et $-i\sqrt{-a}$ ; ici, $\sqrt{25}=5$ . Les valeurs réelles correspondent au signe positif de $a$ , tandis que $25i$ oublie la racine carrée.

Question 16

16. Une équation du second degré a pour coefficients $a=2$ , $b=-6$ et $c=1$ . Puisque son discriminant est positif, quelles sont ses racines ?

\frac{3+\sqrt{7}}{2}

et

\frac{3-\sqrt{7}}{2}

3+i\sqrt{7}

et

3-i\sqrt{7}

3+\sqrt{7}

et

3-\sqrt{7}

\frac{-3+\sqrt{7}}{2}

et

\frac{-3-\sqrt{7}}{2}

Explication

Le discriminant vaut $(-6)^2-4\times2\times1=28>0$ ; les racines sont donc réelles distinctes et valent $\frac{6\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{7}}{2}$ . Les racines complexes conjuguées correspondent à un discriminant négatif, et la formule comporte le dénominateur $2a$ .

Question 17

17. Pour l’équation $z^2+2z+5=0$ , le discriminant est négatif. Quelles sont ses racines ?

1+2i

et

1-2i

-1+2

et

-1-2

-2+i\sqrt{5}

et

-2-i\sqrt{5}

-1+2i

et

-1-2i

Explication

Ici, $\Delta=2^2-4\times1\times5=-16$ ; les racines conjuguées sont $\frac{-2\pm i\sqrt{16}}{2}=-1\pm2i$ . Des racines réelles indiqueraient un discriminant positif, et le terme imaginaire doit être conservé.

Question 18

18. Un polynôme du second degré de coefficient dominant $3$ a pour racines $2$ et $-1$ . Quelle est sa factorisation ?

3(z-2)(z+1)

(z-2)(z+1)

3(z+2)(z-1)

3(z-1)(z+2)

Explication

Un trinôme de racines $z_1,z_2$ et de coefficient dominant $a$ s’écrit $a(z-z_1)(z-z_2)$ ; on obtient donc $3(z-2)(z+1)$ . Omettre le facteur $3$ change le coefficient dominant, et les autres expressions correspondent à d’autres racines.

Question 19

19. Les racines d’un trinôme sont $-4$ et $1$ . Quelle valeur doit avoir le coefficient $b$ si le coefficient de $z^2$ est $2$ ?

b=-6

b=6

b=8

b=-8

Explication

La somme des racines vaut $-4+1=-3$ et vérifie $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ ; avec $a=2$ , on obtient $-3=-\frac{b}{2}$ , donc $b=6$ . Le signe est opposé à celui de la somme, tandis que le produit des racines ne détermine pas cette relation.

Question 20

20. Pour l’équation $6z^2+8z+2=0$ , quelle valeur obtient-on pour le discriminant réduit en posant $b'=\frac{b}{2}$ ?

12

28

8

4

Explication

On a $b'=\frac{8}{2}=4$ , donc $\Delta'=b'^2-ac=4^2-6\times2=16-12=4$ . La valeur 28 vient de l’emploi de $b$ à la place de $b'$ , 8 oublie le terme $ac$ et 12 additionne ce terme au carré.

Question 21

21. Un vecteur a pour coordonnées cartésiennes $(3;-2)$ . Quel est son affixe ?

3-2i

-3+2i

-2+3i

3-2

Explication

L’affixe d’un vecteur de coordonnées $(x;y)$ est $x+iy$ : ici, elle vaut $3+i(-2)=3-2i$ . $-3+2i$ inverse les signes, $3-2$ omet le facteur $i$ et $-2+3i$ intervertit les coordonnées.

Question 22

22. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=2-i$ et $z_B=-1+3i$ . Quelle est l’affixe de $\overrightarrow{AB}$ ?

-1+4i

-3+4i

3-4i

1+2i

Explication

L’affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ , donc $(-1+3i)-(2-i)=-3+4i$ . $3-4i$ correspond à l’inversion de l’ordre pour $\overrightarrow{BA}$ , $1+2i$ provient d’une addition et $-1+4i$ d’une soustraction incorrecte des parties réelles.

Question 23

23. Les extrémités d’un segment ont pour affixes $z_A=1+2i$ et $z_B=5-4i$ . Quelle est l’affixe de son milieu ?

3-i

6-2i

-2+3i

3-2i

Explication

L’affixe du milieu est $\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{(1+2i)+(5-4i)}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$ . $6-2i$ oublie la division par deux, $-2+3i$ utilise une différence et $3-2i$ ne divise pas correctement la partie imaginaire.

Question 24

24. Dans le plan complexe, que fait une application à chaque point de son domaine ?

Elle associe une affixe à chaque point sans définir de point image.

Elle associe un antécédent unique à chaque point du plan.

Elle associe à chaque point considéré un point d’un autre plan.

Elle associe un point image du même plan à chaque point considéré.

Explication

Une application du plan complexe associe à chaque point de son domaine un point image du même plan. La bijectivité caractérise une transformation, une affixe n’est pas le point image lui-même, et l’image appartient au même plan.

Question 25

25. Pour une application d’expression complexe $z'=z^2$ , quelles affixes faut-il résoudre pour déterminer ses points invariants ?

Les solutions de

z'=0

, donc

z^2=0

.

Les solutions de

z'=z

, donc

z^2=z

.

Les solutions de

z'=z^2

, sans imposer d’égalité avec

z

.

Les solutions de

z'=-z

, donc

z^2=-z

.

Explication

Un point invariant est confondu avec son image, ce qui impose l’équation $z'=z$ ; ici, elle devient $z^2=z$ . L’égalité avec l’opposé, l’expression de l’application seule ou la recherche des antécédents de l’origine ne définissent pas les points invariants.

Question 26

26. Une transformation envoie chaque affixe $z$ sur $\overline z$ . Quelle transformation géométrique réalise-t-elle ?

La symétrie centrale de centre l’origine du repère.

La projection orthogonale sur l’axe des réels.

La symétrie orthogonale par rapport à l’axe des imaginaires purs.

La symétrie orthogonale par rapport à l’axe des réels.

Explication

La conjugaison complexe conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : elle représente donc la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des réels. La symétrie par rapport à l’axe imaginaire et la symétrie centrale correspondent à d’autres transformations, tandis que la projection supprime la partie imaginaire.

Question 27

27. Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ est appliquée à un point $M$ . Quelle relation caractérise son image $M'$ ?

\overrightarrow{OM'}=3\overrightarrow{OM}

\overrightarrow{OM'}=-\frac{3\overrightarrow{OM}}{OM^2}

\overrightarrow{OM'}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}

\overrightarrow{OM'}=-3\overrightarrow{OM}

Explication

Par définition, une homothétie de rapport $k$ vérifie $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$ ; pour $k=-3$ , le vecteur image est donc opposé et trois fois plus long. L’oubli du signe, l’inversion du rapport et le facteur en $OM^2$ relèvent d’autres erreurs.

Question 28

28. Une inversion de pôle $O$ et de puissance $12$ transforme un point $M\ne O$ . Quelle condition caractérise le point image sur la demi-droite $[OM)$ ?

\overrightarrow{OM'}=12\overrightarrow{OM}

\overrightarrow{OM'}=-\frac{12\overrightarrow{OM}}{OM^2}

\overrightarrow{OM'}=\frac{12\overrightarrow{OM}}{OM^2}

\overrightarrow{OM'}=\frac{\overrightarrow{OM}}{12}

Explication

L’inversion de puissance $k>0$ associe à $M\ne O$ un point de la demi-droite $[OM)$ vérifiant $\overrightarrow{OM'}=\frac{k\overrightarrow{OM}}{OM^2}$ ; ici, $k=12$ . La relation sans dénominateur correspond à une homothétie, la réciproque inverse le facteur, et le signe négatif placerait l’image dans la direction opposée.

Question 29

29. Pour vérifier si le nombre complexe $w=1+2i$ est une racine carrée de $z=-3+4i$ , quelle égalité faut-il établir ?

z^2=w

2w=z

w^2=z

w\overline{w}=z

Explication

Par définition, $w$ est une racine carrée de $z$ lorsque $w^2=z$ . La relation $2w=z$ confond carré et double, tandis que $w\overline{w}$ est le module au carré.

Question 30

30. On sait que $u$ est une racine carrée d’un nombre complexe non nul $z$ . Quelle autre racine carrée de $z$ peut-on affirmer qu’existe, sans utiliser de symbole radical ?

u

-z

\overline{u}

-u

Explication

Tout nombre complexe admet deux racines carrées complexes opposées : si $u$ en est une, l’autre est $-u$ . Le conjugué n’est pas nécessairement une racine, et $-z$ n’est pas l’opposé de la racine.

Question 31

31. Une expression est définie pour tout nombre complexe et s’écrit $P(z)=a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0$ , avec $a_3\ne0$ . Quelle caractéristique permet de la reconnaître comme un polynôme complexe ?

Elle a cette forme avec une variable réelle et un coefficient dominant non nul

Elle est définie pour tout complexe et tous ses coefficients sont non nuls

Elle a cette forme avec des coefficients complexes et un coefficient dominant non nul

Elle a cette forme avec des coefficients réels et un terme constant non nul

Explication

Un polynôme complexe est défini pour tout complexe et possède une écriture en puissances de la variable à coefficients complexes, avec coefficient dominant non nul. Des coefficients réels ne sont pas exigés, et le terme constant peut être nul.

Question 32

32. Pour $P(z)=z^2+1$ , quelle condition doit vérifier un nombre complexe $r$ pour être une racine de $P$ ?

P(r)=1

P(r)=0

r=0

P'(r)=0

Explication

Une racine, ou un zéro, d’un polynôme est une solution de l’équation $P(z)=0$ . La condition $P(r)=1$ ne décrit pas un zéro, et $r=0$ n’est pas la définition d’une racine.

Question 33

33. Un polynôme $P$ admet $z_0=2-i$ comme racine. Quelle factorisation doit alors être possible ?

P(z)=(z+(2-i))Q(z)

pour un polynôme

Q

P(z)=(2-i)Q(z)

pour un polynôme

Q

P(z)=(z-(2-i))Q(z)

pour un polynôme

Q

P(z)=Q(z)-(2-i)

pour un polynôme

Q

Explication

Si $z_0$ est une racine de $P$ , alors $P(z)=(z-z_0)Q(z)$ pour un polynôme $Q$ . Le facteur $z+z_0$ inverse le signe, tandis qu’un facteur constant ne représente pas la factorisation par $z-z_0$ .

Question 34

34. Un polynôme à coefficients réels possède la racine $z_0=3+2i$ . Quelle autre racine la propriété de conjugaison garantit-elle ?

3-2i

-3-2i

-3+2i

3+2i

Explication

Pour un polynôme à coefficients réels, toute racine complexe non réelle entraîne la présence de sa racine conjuguée : le conjugué de $3+2i$ est $3-2i$ . $-3-2i$ est l’opposé, et non le conjugué.

Question 35

35. Pour représenter le nombre complexe $-4+i$ en Python, quelle écriture faut-il utiliser ?

-4+1i

-4+1j

-4+j

4-1j

Explication

En Python, la partie imaginaire s’écrit avec j précédé d’un nombre : le coefficient de i étant 1, $-4+i$ s’écrit -4+1j. L’écriture « -4+j » omet ce coefficient, « 4-1j » change les signes et « -4+1i » n’emploie pas la notation Python.

Question 36

36. Pour $z=2-5j$ , quelles valeurs renvoient respectivement z.real, z.imag et z.conjugate() en Python ?

2, 2+5j et -5

-5, 2 et 2+5j

2, 5 et 2-5j

2, -5 et 2+5j

Explication

Les attributs renvoient respectivement la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué : pour $z=2-5j$ , ces résultats sont 2, -5 et 2+5j. « 2+5j » comme valeur de imag confond partie imaginaire et conjugué, « 5 » perd le signe de la partie imaginaire, et « -5, 2 » inverse les parties.

QCM : Équations du second degré complexes (36 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi introduit-on un ensemble plus vaste que R\mathbb{R}R pour résoudre x2+1=0x^2+1=0x2+1=0 ?

2. Quelle description caractérise l’ensemble C\mathbb{C}C et ses opérations ?

3. Pour z=−2+7iz=-2+7iz=−2+7i, quelle écriture donne ses deux composantes réelles dans la forme algébrique unique ?

4. Si z=4−3iz=4-3iz=4−3i, quelle valeur correspond à Re⁡(z)\operatorname{Re}(z)Re(z) ?

5. Dans un repère orthonormé direct, quel est l’affixe du point M(−3;2)M(-3;2)M(−3;2) ?

6. Dans le plan complexe, quel axe est porté par le vecteur v⃗\vec vv du repère orthonormé direct ?

7. Pour un entier naturel ppp, quelle est la valeur de i4p+3i^{4p+3}i4p+3 ?

8. Un calcul sur des nombres complexes contient le facteur i2i^2i2. Quelle substitution permet de poursuivre le calcul en respectant les règles de multiplication ?

9. Pour un quotient complexe dont le numérateur et le dénominateur dépendent de réels, quelle démarche permet d’obtenir ses parties réelle et imaginaire ?

10. Pour factoriser z2+1z^2+1z2+1 dans C\mathbb CC, quelle identité faut-il utiliser après avoir réécrit 111 à l’aide de i2=−1i^2=-1i2=−1 ?

11. Quel est le conjugué de z=4−3iz=4-3iz=4−3i ?

12. Si z=2+5iz=2+5iz=2+5i et z′=3−iz'=3-iz′=3−i, quelle expression donne z+z′‾\overline{z+z'}z+z′​ en utilisant la propriété du conjugué d’une somme ?

13. Pour z=1+2iz=1+2iz=1+2i et z′=3−iz'=3-iz′=3−i, quelle expression représente le conjugué du produit zz′zz'zz′ selon la règle du conjugué d’un produit ?

14. Un complexe www vérifie w‾=−w\overline w=-ww=−w. Dans quelle catégorie se trouve-t-il ?

15. On résout dans les nombres complexes l’équation z2=−25z^2=-25z2=−25. Quelles sont ses solutions ?

16. Une équation du second degré a pour coefficients a=2a=2a=2, b=−6b=-6b=−6 et c=1c=1c=1. Puisque son discriminant est positif, quelles sont ses racines ?

17. Pour l’équation z2+2z+5=0z^2+2z+5=0z2+2z+5=0, le discriminant est négatif. Quelles sont ses racines ?

18. Un polynôme du second degré de coefficient dominant 333 a pour racines 222 et −1-1−1. Quelle est sa factorisation ?

19. Les racines d’un trinôme sont −4-4−4 et 111. Quelle valeur doit avoir le coefficient bbb si le coefficient de z2z^2z2 est 222 ?

20. Pour l’équation 6z2+8z+2=06z^2+8z+2=06z2+8z+2=0, quelle valeur obtient-on pour le discriminant réduit en posant b′=b2b'=\frac{b}{2}b′=2b​ ?

21. Un vecteur a pour coordonnées cartésiennes (3;−2)(3;-2)(3;−2). Quel est son affixe ?

22. Les points AAA et BBB ont pour affixes zA=2−iz_A=2-izA​=2−i et zB=−1+3iz_B=-1+3izB​=−1+3i. Quelle est l’affixe de AB→\overrightarrow{AB}AB ?

23. Les extrémités d’un segment ont pour affixes zA=1+2iz_A=1+2izA​=1+2i et zB=5−4iz_B=5-4izB​=5−4i. Quelle est l’affixe de son milieu ?

24. Dans le plan complexe, que fait une application à chaque point de son domaine ?

25. Pour une application d’expression complexe z′=z2z'=z^2z′=z2, quelles affixes faut-il résoudre pour déterminer ses points invariants ?

26. Une transformation envoie chaque affixe zzz sur z‾\overline zz. Quelle transformation géométrique réalise-t-elle ?

27. Une homothétie de centre OOO et de rapport −3-3−3 est appliquée à un point MMM. Quelle relation caractérise son image M′M'M′ ?

28. Une inversion de pôle OOO et de puissance 121212 transforme un point M≠OM\ne OM=O. Quelle condition caractérise le point image sur la demi-droite [OM)[OM)[OM) ?

29. Pour vérifier si le nombre complexe w=1+2iw=1+2iw=1+2i est une racine carrée de z=−3+4iz=-3+4iz=−3+4i, quelle égalité faut-il établir ?

30. On sait que uuu est une racine carrée d’un nombre complexe non nul zzz. Quelle autre racine carrée de zzz peut-on affirmer qu’existe, sans utiliser de symbole radical ?

31. Une expression est définie pour tout nombre complexe et s’écrit P(z)=a3z3+a2z2+a1z+a0P(z)=a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0P(z)=a3​z3+a2​z2+a1​z+a0​, avec a3≠0a_3\ne0a3​=0. Quelle caractéristique permet de la reconnaître comme un polynôme complexe ?

32. Pour P(z)=z2+1P(z)=z^2+1P(z)=z2+1, quelle condition doit vérifier un nombre complexe rrr pour être une racine de PPP ?

33. Un polynôme PPP admet z0=2−iz_0=2-iz0​=2−i comme racine. Quelle factorisation doit alors être possible ?

34. Un polynôme à coefficients réels possède la racine z0=3+2iz_0=3+2iz0​=3+2i. Quelle autre racine la propriété de conjugaison garantit-elle ?

35. Pour représenter le nombre complexe −4+i-4+i−4+i en Python, quelle écriture faut-il utiliser ?

36. Pour z=2−5jz=2-5jz=2−5j, quelles valeurs renvoient respectivement z.real, z.imag et z.conjugate() en Python ?

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1. Pourquoi introduit-on un ensemble plus vaste que $\mathbb{R}$ pour résoudre $x^2+1=0$ ?

2. Quelle description caractérise l’ensemble $\mathbb{C}$ et ses opérations ?

3. Pour $z=-2+7i$ , quelle écriture donne ses deux composantes réelles dans la forme algébrique unique ?

4. Si $z=4-3i$ , quelle valeur correspond à $\operatorname{Re}(z)$ ?

5. Dans un repère orthonormé direct, quel est l’affixe du point $M(-3;2)$ ?

6. Dans le plan complexe, quel axe est porté par le vecteur $\vec v$ du repère orthonormé direct ?

7. Pour un entier naturel $p$ , quelle est la valeur de $i^{4p+3}$ ?

8. Un calcul sur des nombres complexes contient le facteur $i^2$ . Quelle substitution permet de poursuivre le calcul en respectant les règles de multiplication ?

10. Pour factoriser $z^2+1$ dans $\mathbb C$ , quelle identité faut-il utiliser après avoir réécrit $1$ à l’aide de $i^2=-1$ ?

11. Quel est le conjugué de $z=4-3i$ ?

12. Si $z=2+5i$ et $z'=3-i$ , quelle expression donne $\overline{z+z'}$ en utilisant la propriété du conjugué d’une somme ?

13. Pour $z=1+2i$ et $z'=3-i$ , quelle expression représente le conjugué du produit $zz'$ selon la règle du conjugué d’un produit ?

14. Un complexe $w$ vérifie $\overline w=-w$ . Dans quelle catégorie se trouve-t-il ?

15. On résout dans les nombres complexes l’équation $z^2=-25$ . Quelles sont ses solutions ?

16. Une équation du second degré a pour coefficients $a=2$ , $b=-6$ et $c=1$ . Puisque son discriminant est positif, quelles sont ses racines ?

17. Pour l’équation $z^2+2z+5=0$ , le discriminant est négatif. Quelles sont ses racines ?

18. Un polynôme du second degré de coefficient dominant $3$ a pour racines $2$ et $-1$ . Quelle est sa factorisation ?

19. Les racines d’un trinôme sont $-4$ et $1$ . Quelle valeur doit avoir le coefficient $b$ si le coefficient de $z^2$ est $2$ ?

20. Pour l’équation $6z^2+8z+2=0$ , quelle valeur obtient-on pour le discriminant réduit en posant $b'=\frac{b}{2}$ ?

21. Un vecteur a pour coordonnées cartésiennes $(3;-2)$ . Quel est son affixe ?

22. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=2-i$ et $z_B=-1+3i$ . Quelle est l’affixe de $\overrightarrow{AB}$ ?

23. Les extrémités d’un segment ont pour affixes $z_A=1+2i$ et $z_B=5-4i$ . Quelle est l’affixe de son milieu ?

25. Pour une application d’expression complexe $z'=z^2$ , quelles affixes faut-il résoudre pour déterminer ses points invariants ?

26. Une transformation envoie chaque affixe $z$ sur $\overline z$ . Quelle transformation géométrique réalise-t-elle ?

27. Une homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ est appliquée à un point $M$ . Quelle relation caractérise son image $M'$ ?

28. Une inversion de pôle $O$ et de puissance $12$ transforme un point $M\ne O$ . Quelle condition caractérise le point image sur la demi-droite $[OM)$ ?

29. Pour vérifier si le nombre complexe $w=1+2i$ est une racine carrée de $z=-3+4i$ , quelle égalité faut-il établir ?

30. On sait que $u$ est une racine carrée d’un nombre complexe non nul $z$ . Quelle autre racine carrée de $z$ peut-on affirmer qu’existe, sans utiliser de symbole radical ?

31. Une expression est définie pour tout nombre complexe et s’écrit $P(z)=a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0$ , avec $a_3\ne0$ . Quelle caractéristique permet de la reconnaître comme un polynôme complexe ?

32. Pour $P(z)=z^2+1$ , quelle condition doit vérifier un nombre complexe $r$ pour être une racine de $P$ ?

33. Un polynôme $P$ admet $z_0=2-i$ comme racine. Quelle factorisation doit alors être possible ?

34. Un polynôme à coefficients réels possède la racine $z_0=3+2i$ . Quelle autre racine la propriété de conjugaison garantit-elle ?

35. Pour représenter le nombre complexe $-4+i$ en Python, quelle écriture faut-il utiliser ?

36. Pour $z=2-5j$ , quelles valeurs renvoient respectivement z.real, z.imag et z.conjugate() en Python ?