Fiche de révision : Fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Définition et calculs affines
2. Représentation graphique affine
3. Coefficient directeur et taux d’accroissement
4. Déterminer une fonction affine
5. Sens de variation affine
6. Signe d’une fonction affine

📖 1. Définition et calculs affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Définie sur ℝ et s’écrit $f(x)=ax+b$, où a et b sont des nombres réels.

★ À maîtriser

• Dans l’expression $f(x)=ax+b$, a est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine.

Compléments

• Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction affine, on remplace x par ce nombre dans $ax+b$ puis on effectue le calcul.

📌 Un point de coordonnées (x ; y) appartient à la représentation graphique de f si et seulement si f(x)=y.

• Pour trouver l’antécédent d’un nombre y par une fonction affine, on résout l’équation $ax+b=y$.

📖 2. Représentation graphique affine

★ À maîtriser

• 🔄 Pour tracer la droite :
  1. Calculer les images de deux nombres distincts.
  2. Placer les deux points correspondants.
  3. Tracer la droite qui les relie.

Compléments

📌 Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine pour lequel b=0 ; elle s’écrit $f(x)=ax$.

📖 3. Coefficient directeur et taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement d’une fonction affine entre u et v est le quotient $\frac{f(v)-f(u)}{v-u}$, égal à son coefficient directeur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$ et deux nombres distincts u et v, le taux d’accroissement est $\frac{f(v)-f(u)}{v-u}=a$.

Compléments

• Géométriquement, le coefficient directeur est le quotient de la variation verticale f(v)-f(u) par la variation horizontale v-u.

• Pour lire le coefficient directeur sur un graphique, on calcule le quotient de la variation verticale par la variation horizontale entre deux points de la droite.

📖 4. Déterminer une fonction affine

★ À maîtriser

• Pour déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs, on utilise $a=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}$, puis on détermine b avec l’une des valeurs grâce à $f(x)=ax+b$.

Compléments

• Dans une fonction affine, f(0)=b ; la valeur de la fonction en 0 donne donc l’ordonnée à l’origine.

• Pour construire une droite à partir de son équation $y=ax+b$, on place d’abord l’ordonnée à l’origine b, puis on utilise le coefficient directeur a comme variation verticale sur variation horizontale.

📖 5. Sens de variation affine

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, si a>0, alors f est croissante sur ℝ.

📌 Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, si a<0, alors f est décroissante sur ℝ.

Compléments

• Pour $g(x)=-2x+5$ sur [-4 ; 6], la fonction est décroissante et ses valeurs aux bornes sont g(-4)=13 et g(6)=-7.

💡 Astuce mémo

Coefficient positif : la droite monte ; coefficient négatif : elle descend.

📖 6. Signe d’une fonction affine

★ À maîtriser

• Pour déterminer le signe de $f(x)=ax+b$, on résout $ax+b=0$ afin de trouver la valeur qui annule la fonction, puis on établit le tableau de signes.

📐 Formule - Pour $f(x)=ax+b$ avec a≠0, la valeur qui annule f est $x=-\frac{b}{a}$.

📌 Pour $f(x)=ax+b$, la fonction est du signe de a à droite de sa racine $-\frac{b}{a}$ et du signe opposé à gauche.

Compléments

• Pour $f(x)=2x-4$, la racine est 2 ; f est négative à gauche de 2 et positive à droite.