Fiche de révision : Fonctions affines et variations

📋 Plan du Cours

1. Fonction numérique et vocabulaire
2. Images et variations graphiques
3. Fonction linéaire et proportionnalité
4. Fonction affine et sens de variation
5. Taux d’accroissement et détermination
6. Signes et inéquations affines
7. Applications des fonctions affines

📖 1. Fonction numérique et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Application qui associe à tout nombre de D un nombre réel.
• Ensemble de définition : Ensemble des nombres pour lesquels une fonction est définie.
• Antécédent : Nombre de départ auquel la fonction associe une image.
• Image : L’image d’un nombre par une fonction est le nombre d’arrivée qui lui est associé.

💡 Astuce mémo

L’antécédent entre dans la fonction ; l’image en sort.

📖 2. Images et variations graphiques

★ À maîtriser

• La fonction g de l’exemple du médicament est croissante sur [0 ; 1], puis décroissante sur [1 ; +∞[.

Compléments

• Pour la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 3x² − 1, l’image de 10 est f(10) = 299.

• Dans l’exemple du médicament, la quantité de principe actif est de 2,5 mg/L au bout de 5 h et atteint son maximum de 27,5 mg/L au bout de 1 h.

📖 3. Fonction linéaire et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Fonction qui s’écrit f(x) = ax, avec a réel.
• Coefficient directeur : Dans l’écriture f(x) = ax d’une fonction linéaire, a est le coefficient directeur de la droite représentative.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

• Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

💡 Astuce mémo

La droite linéaire passe par l’origine.

📖 4. Fonction affine et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction qui s’écrit f(x) = mx + p, avec m et p réels.
• Ordonnée à l’origine : Dans l’écriture f(x) = mx + p d’une fonction affine, p est l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📌 Pour une fonction affine f(x) = mx + p, si m > 0 la fonction est croissante, si m < 0 elle est décroissante et si m = 0 elle est constante.

Compléments

• Une fonction affine traduit une situation dans laquelle le taux d’accroissement est constant.

📖 5. Taux d’accroissement et détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre deux nombres distincts a et b est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, ou de façon équivalente $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

📝 Points essentiels

• Pour g(3) = 84 et g(7) = 56, le taux d’accroissement entre 3 et 7 vaut $\frac{56-84}{7-3}=-7$.

• Pour déterminer la fonction affine passant par les points (3 ; 84) et (7 ; 56), on calcule le taux d’accroissement −7, puis on utilise une des valeurs pour trouver p = 105 ; ainsi g(t) = −7t + 105.

• Dans l’exemple d’élimination du médicament, la quantité initiale est 94 mL et elle diminue de 5 mL par heure, ce qui donne f(t) = −5t + 94.

📖 6. Signes et inéquations affines

📝 Points essentiels

📌 Pour résoudre une inéquation affine, on détermine le signe de l’expression affine en fonction de son zéro et du signe de son coefficient directeur.

📌 Pour résoudre une inéquation produit telle que (x + 20)(10 − 2x) ≥ 0, il faut déterminer les signes des facteurs et retenir les intervalles où leur produit est positif ou nul.

📖 7. Applications des fonctions affines

★ À maîtriser

• Pour la vente de pantalons, les frais fixes sont de 1200 € et la vente de 250 pantalons rapporte 800 € après déduction des frais ; le bénéfice net est modélisé par B(x) = 8x − 1200.

• Pour un QCM de 10 questions, avec 2 points par bonne réponse et une pénalité de 0,5 point par mauvaise réponse, la note associée à x bonnes réponses est f(x) = 2,5x − 5.

Compléments

• Dans la conversion de Celsius en Fahrenheit, les données fournies sont f(37) = 98,6 et f(100) = 212.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions linéaire et affine