Fiche de révision : Fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines
2. Polynômes du second degré
3. Fonction racine carrée
4. Logarithme népérien
5. Fonction exponentielle
6. Fonctions sinus et cosinus
7. Lecture des représentations graphiques
8. Recherche approchée par dichotomie

📖 1. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur ℝ par $f(x)=ax+b$, où a et b sont réels, a étant le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Une fonction affine est croissante si a>0, décroissante si a<0 et constante si a=0.

Compléments

📌 Une fonction affine est linéaire si b=0 et constante si a=0.

📐 Formule - Pour une fonction affine, le taux d’accroissement entre deux réels distincts x₁ et x₂ vaut $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a$ et sa dérivée vaut $f'(x)=a$.

• Pour $f(x)=2x-4$, la fonction est croissante, s’annule en x=2, est négative avant 2 et positive après 2.

📖 2. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une fonction $P(x)=ax^2+bx+c$ définie sur ℝ, avec a≠0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ>0, le trinôme a deux racines réelles $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si Δ=0, il a une racine double $\frac{-b}{2a}$ ; si Δ<0, il n’a aucune racine réelle.

Compléments

📌 Si Δ>0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de ses racines et du signe opposé entre elles ; si Δ=0, il est du signe de a et s’annule à la racine double ; si Δ<0, il est strictement du signe de a.

📌 Le sommet de la parabole est S(α ; β), avec $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et β=P(α) ; si a>0, P décroît puis croît et admet le minimum β, tandis que si a<0, P croît puis décroît et admet le maximum β.

• Pour $P(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$, le sommet est S(2 ; −1), le minimum vaut −1, les racines sont 1 et 3, et P(x)<0 sur ]1 ; 3[.

📖 3. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ est définie sur [0 ; +∞[ et prend des valeurs positives ou nulles.

★ À maîtriser

📌 La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

Compléments

📐 Formule - Pour a≥0, $(\sqrt{a})^2=a$ ; pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📐 Formule - Pour a,b≥0, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ ; si b>0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

📌 L’équation $\sqrt{x}=2{,}5$ équivaut à x=6,25, tandis que $\sqrt{x}=-2$ n’a pas de solution.

📖 4. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[ et est la fonction réciproque de l’exponentielle, avec $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ pour x>0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b>0 et tout entier n, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.

📌 La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est $\frac{1}{x}$.

Compléments

• Les valeurs remarquables sont $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

📌 On a ln x<0 pour 0<x<1, ln x=0 pour x=1 et ln x>0 pour x>1.

📖 5. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est définie sur ℝ par $f(x)=e^x$.

★ À maîtriser

📌 La dérivée de $e^x$ est $e^x$ et la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Compléments

• Pour tout réel x, $e^x>0$, $e^0=1$ et $e^1=e$.

📐 Formule - Pour tous réels a,b, $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$, $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$ et $(e^a)^b=e^{ab}$.

• L’équation $e^x=-3$ n’a aucune solution puisque $e^x$ est strictement positive pour tout réel x.

• Le modèle de refroidissement donné est $T(t)=22+38e^{-0{,}04t}$, avec t en minutes.

📖 6. Fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions sinus et cosinus : Les fonctions sin et cos sont définies sur ℝ, périodiques de période 2π, à valeurs dans [−1 ; 1], et leurs angles sont exprimés en radians.

📝 Points essentiels

• Les valeurs remarquables sont $\sin(0)=0$, $\cos(0)=1$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ et $\cos(\pi)=-1$.

📐 Formule - Les dérivées sont $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

• Sur [0 ; 2π], sin croît sur [0 ; π/2], décroît sur [π/2 ; 3π/2], puis croît sur [3π/2 ; 2π].

• Le modèle d’oscillation donné est $T(t)=24+3\cos\left(\frac{2\pi t}{24}\right)$, avec t en heures.

📖 7. Lecture des représentations graphiques

★ À maîtriser

• 🔄 L’exploitation d’une représentation graphique suit ces étapes :
  1. Identifier le domaine étudié.
  2. Lire les intervalles de croissance et de décroissance.
  3. Relever les extrema.
  4. Déterminer le signe en repérant les intersections avec l’axe des abscisses.
  5. Pour f(x)=k, compter les intersections avec la droite horizontale y=k.

Compléments

📌 Une représentation graphique permet de conjecturer, tandis que les propriétés et les calculs permettent de justifier les résultats.

• Pour $f(x)=-(x-2)^2+4$, le sommet donne un maximum égal à 4 atteint en x=2.

📖 8. Recherche approchée par dichotomie

★ À maîtriser

• Pour résoudre numériquement f(x)=k par dichotomie, poser g(x)=f(x)−k, choisir un intervalle [a ; b] où g est continue et change de signe, calculer le milieu $m=\frac{a+b}{2}$, conserver la moitié où le changement de signe subsiste et recommencer jusqu’à la précision souhaitée.

Compléments

• Pour résoudre x²=2 sur [1 ; 2] par dichotomie, les quatre milieux testés sont 1,5, 1,25, 1,375 et 1,4375, ce qui encadre la solution entre 1,375 et 1,4375.

📌 La dichotomie s’arrête lorsque l’amplitude de l’encadrement atteint la précision demandée.

💡 Astuce mémo

Encadrer, tester le milieu, garder le côté où le signe change, recommencer.