Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et résolution
4. Forme canonique et sommet
5. Variations et courbe représentative
6. Signes et applications

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, tandis que la forme factorisée est $a(x-u)(x-v)$ lorsqu’elle existe.

• La forme factorisée n’existe pas pour tout trinôme du second degré ; par exemple, $x^2+1$ ne possède pas de forme factorisée sur ℝ.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un trinôme : Valeur qui annule le polynôme, c’est-à-dire une valeur u telle que $f(u)=0$.

★ À maîtriser

📌 Si $f(x)=a(x-u)(x-v)$, alors l’équation $f(x)=0$ admet u et v comme solutions.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ de racines u et v, la somme et le produit des racines vérifient $u+v=-\frac{b}{a}$ et $uv=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $h(x)=-x^2-4x+5$, comme h(1)=0, 1 est une racine et la relation $x_1x_2=c/a=-5$ donne l’autre racine $x_2=-5$.

💡 Astuce mémo

Racine → facteur nul → factorisation

📖 3. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation possède une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

Compléments

• Pour $g(x)=4x^2+19x-5$, on obtient $\Delta=441=21^2$, puis les racines $x_1=-5$ et $x_2=\frac14$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : racine double ; Δ négatif : aucune racine réelle

📖 4. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les paramètres de la forme canonique vérifient $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}=f(\alpha)$.

Compléments

• La complétion du carré consiste à factoriser par a, faire apparaître un carré parfait, puis obtenir la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

• La fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ a pour forme canonique $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour de l’axe vertical x = α, avec son sommet en (α, β).

📖 5. Variations et courbe représentative

★ À maîtriser

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si a>0, la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$.

• La courbe représentative d’un trinôme de degré 2 est une parabole de sommet $S(\alpha,\beta)$ et d’axe de symétrie $x=\alpha$.

Compléments

• La fonction $f(x)=-x^2+4x$ atteint son maximum 4 en x=2, tandis que $g(x)=(x-3)^2-4$ atteint son minimum -4 en x=3.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne une parabole en U ; a < 0 donne une parabole tournée vers le bas

📖 6. Signes et applications

★ À maîtriser

📌 Pour étudier le signe d’un trinôme, si $\Delta>0$, son signe est celui de a à l’extérieur des racines et celui de -a entre les racines.

• Pour comparer deux courbes représentatives, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$ : elle est positive lorsque la courbe de f est au-dessus de celle de g et négative lorsqu’elle est au-dessous.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme a le signe de a partout sauf en sa racine double, où il est nul.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme garde partout le signe de a et ne s’annule jamais.

• Pour $f(x)=-x^2+8x-11$ et $g(x)=x-1$, la courbe Cf est au-dessus de Cg sur $]2;5[$, au-dessous sur $]-\infty;2[\cup]5;+\infty[$, et elles se coupent en 2 et 5.

💡 Astuce mémo

Comparer → calculer la différence → étudier le signe → conclure

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et solutions