Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et résolution
4. Forme canonique et sommet
5. Variations et courbe représentative
6. Signes et applications

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, tandis que la forme factorisée est $a(x-u)(x-v)$ lorsqu’elle existe.

• La forme factorisée n’existe pas pour tout trinôme du second degré ; par exemple, $x^2+1$ ne possède pas de forme factorisée sur ℝ.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un trinôme : Valeur qui annule le polynôme, c’est-à-dire une valeur u telle que $f(u)=0$.

★ À maîtriser

📌 Si $f(x)=a(x-u)(x-v)$, alors l’équation $f(x)=0$ admet u et v comme solutions.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ de racines u et v, la somme et le produit des racines vérifient $u+v=-\frac{b}{a}$ et $uv=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $h(x)=-x^2-4x+5$, comme h(1)=0, 1 est une racine et la relation $x_1x_2=c/a=-5$ donne l’autre racine $x_2=-5$.