Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et résolution dans R
2. Définition du trinôme
3. Parabole, racines et signes
4. Formes développée et canonique
5. Forme factorisée et racines
6. Variations selon le coefficient a

📖 1. Vocabulaire et résolution dans R

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution dans R : Trouver toutes les solutions réelles qui la vérifient.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation du second degré simple, on isole le terme en x², puis on utilise les solutions réelles de l’égalité obtenue.

• L’équation $2x^2-2=0$ donne $x^2=1$, donc ses solutions sont $x=1$ et $x=-1$.

💡 Astuce mémo

Identifier, transformer, conclure

📖 2. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur R qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\in\mathbb{R}^*$ et $b,c\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Pour identifier les coefficients d’un trinôme, on développe et on simplifie son expression afin de la mettre sous la forme $ax^2+bx+c$.

• Le développement de $(4x-3)^2$ donne $16x^2-24x+9$, donc $a=16$, $b=-24$ et $c=9$.

💡 Astuce mémo

ABC : a, b, c

📖 3. Parabole, racines et signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentative dans un repère orthonormé d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Racine : Solution de l’équation $P(x)=0$.

📝 Points essentiels

• La droite d’équation $x=\alpha$ est l’axe de symétrie de la parabole lorsque son sommet a pour abscisse $\alpha$.

📌 Une parabole peut avoir deux racines, une seule racine ou aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Racines : intersections avec l’axe des abscisses ; sommet : point extrême

📖 4. Formes développée et canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Tout trinôme du second degré peut s’écrire de manière unique sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule — Dans la forme canonique, l’abscisse et l’ordonnée du sommet vérifient $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-6x+5$, la forme canonique donne un sommet de coordonnées $S(3;-4)$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → lire le sommet

📖 5. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Certains trinômes s’écrivent sous la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont leurs racines.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation factorisée, on applique la propriété du produit nul : $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ conduit aux solutions $x=x_1$ ou $x=x_2$.

Compléments

• La factorisation $3x^2-2x=x(3x-2)$ permet de résoudre $3x^2-2x=0$ avec les solutions $x=0$ et $x=\frac{2}{3}$.

💡 Astuce mémo

Deux facteurs comme deux portes vers les racines

📖 6. Variations selon le coefficient a

★ À maîtriser

📌 Le signe de a détermine l’orientation de la parabole : si $a>0$, elle est orientée vers le haut, et si $a<0$, elle est orientée vers le bas.

📌 Si $a>0$, le sommet $S(\alpha;\beta)$ est un minimum, tandis que si $a<0$, le sommet est un maximum.

Compléments

• Pour étudier les variations de $f(x)=-2(x-3)^2+4$, on compare deux antécédents, on soustrait 3, on élève au carré, on multiplie par -2 puis on ajoute 4.

• Pour $f(x)=-2(x-3)^2+4$, le sommet est $S(3;4)$ et la parabole est orientée vers le bas.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un trinôme