QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Question 1

1. Quelles solutions obtient-on à partir de l’équation factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ?

x=a-x_1

ou

x=a-x_2

x=\frac{x_1}{a}

ou

x=\frac{x_2}{a}

x=x_1

ou

x=x_2

x=x_1x_2

ou

x=a

Explication

La propriété du produit nul impose qu’un des deux facteurs soit nul, ce qui donne $x=x_1$ ou $x=x_2$ . Le coefficient $a\ne0$ ne crée pas une solution supplémentaire.

Answer

$$x=x_1$$ ou $$x=x_2$$

Question 2

2. Quelle forme caractérise un trinôme défini sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\in\mathbb{R}^*

et

b,c\in\mathbb{R}

f(x)=ax+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

f(x)=ax^3+bx^2+c

avec

a\in\mathbb{R}^*

f(x)=\frac{a}{x^2}+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

Explication

Un trinôme est un polynôme du second degré écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ , avec un coefficient $a$ réel non nul. Une expression affine ou cubique ne possède pas ce degré.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\in\mathbb{R}^*$$ et $$b,c\in\mathbb{R}$$

Question 3

3. Laquelle de ces expressions est la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

a(x-\alpha)^2+\beta

a(x-x_1)(x-x_2)

b^2-4ac

ax^2+bx+c

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\ne0$ , et cette écriture est unique. L’expression $ax^2+bx+c$ correspond à la forme développée.

Answer

$$a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 4

4. Quelle expression donne le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2+4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=2b-4ac

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant $4ac$ à $b^2$ . La forme canonique décrit plutôt le sommet à l’aide de ses coordonnées, et ne définit pas directement le discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 5

5. Comment l’orientation de la parabole varie-t-elle selon le signe de $a$ dans $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

Elle est vers le bas si

a>0

et vers le haut si

a<0

.

Elle est vers le haut si

a>0

et vers le bas si

a<0

.

Elle est vers le haut lorsque

a=0

et vers le bas lorsque

a\ne0

.

Elle est vers le bas lorsque

a=0

et vers le haut lorsque

a\ne0

.

Explication

Un coefficient $a$ positif produit une parabole orientée vers le haut, tandis qu’un coefficient $a$ négatif l’oriente vers le bas. Les propositions fondées sur $a=0$ ne concernent pas un trinôme du second degré.

Answer

Elle est vers le haut si $$a>0$$ et vers le bas si $$a<0$$.

Question 6

6. Quelle est la courbe représentative d’un trinôme dans un repère orthonormé ?

Une droite

Un cercle

Une hyperbole

Une parabole

Explication

La représentation graphique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole. Une droite correspond à une fonction affine, tandis qu’un cercle ou une hyperbole ne décrit pas la forme générale d’un trinôme.

Answer

Une parabole

Question 7

7. Que signifie résoudre une équation ou une inéquation dans $\mathbb{R}$ ?

Trouver toutes les solutions réelles qui la vérifient

Déterminer le sommet de sa courbe représentative

Tracer sa courbe dans un repère orthonormé

Identifier les coefficients de son expression développée

Explication

Résoudre consiste à déterminer l’ensemble des valeurs réelles qui rendent l’équation ou l’inéquation vraie. Le sommet et les coefficients peuvent intervenir dans certaines méthodes, mais ne définissent pas la résolution elle-même.

Answer

Trouver toutes les solutions réelles qui la vérifient

Question 8

8. Quelle nature de sommet possède une parabole selon le signe de $a$ ?

Un minimum dans les deux cas, car le sommet est unique

Un maximum si

a>0

et un minimum si

a<0

Un minimum si

a>0

et un maximum si

a<0

Un maximum dans les deux cas, car la parabole possède un sommet

Explication

Quand $a>0$ , la parabole est ouverte vers le haut et son sommet est un minimum ; quand $a<0$ , elle est ouverte vers le bas et son sommet est un maximum. L’existence d’un sommet ne suffit donc pas à déterminer sa nature.

Answer

Un minimum si $$a>0$$ et un maximum si $$a<0$$

Question 9

9. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $2x^2-2=0$ ?

x=1

et

x=-1

x=1

et

x=0

x=2

et

x=-2

L’équation n’a pas de solution réelle

Explication

En isolant le terme carré, on obtient $x^2=1$ , dont les deux solutions réelles sont $1$ et $-1$ . L’équation $x^2=-2$ , contrairement à celle-ci, n’aurait aucune solution dans $\mathbb{R}$ .

Answer

$$x=1$$ et $$x=-1$$

Question 10

10. Comment définit-on une racine d’un polynôme $P$ ?

C’est l’abscisse du sommet de sa parabole

C’est la valeur de

P(0)

C’est le coefficient du terme en

x^2

C’est une solution de l’équation

P(x)=0

Explication

Une racine est une valeur de $x$ qui annule le polynôme, c’est-à-dire qui vérifie $P(x)=0$ . L’abscisse du sommet décrit l’extremum de la parabole et ne constitue pas forcément une racine.

Answer

C’est une solution de l’équation $$P(x)=0$$

Question 11

11. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles formules donnent les coordonnées $S(\alpha;\beta)$ du sommet ?

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=\frac{\Delta}{4a}

\alpha=\frac{\Delta}{4a}

et

\beta=-\frac{b}{2a}

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=-\frac{\Delta}{4a}

\alpha=-\frac{b}{a}

et

\beta=-\frac{\Delta}{2a}

Explication

Dans la forme canonique, l’abscisse du sommet vaut $-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée vaut $-\frac{\Delta}{4a}$ . Les autres associations changent les signes ou les facteurs des formules.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{\Delta}{4a}$$

Question 12

12. Si le sommet d’une parabole a pour abscisse $\alpha$ , quelle est son axe de symétrie ?

La droite d’équation

x=\alpha

La droite d’équation

y=\alpha

Le point de coordonnées

(\alpha;0)

La droite passant par le sommet et l’origine

Explication

Lorsque le sommet a pour abscisse $\alpha$ , l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ . Le sommet est un point, tandis qu’un axe de symétrie est une droite.

Answer

La droite d’équation $$x=\alpha$$

Question 13

13. Après développement et réduction de $(4x-3)^2$ , quelles sont les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ dans la forme $ax^2+bx+c$ ?

a=16

,

b=-24

et

c=9

a=8

,

b=-12

et

c=9

a=16

,

b=24

et

c=-9

a=4

,

b=-3

et

c=2

Explication

Le développement donne $16x^2-24x+9$ , ce qui permet de lire directement les trois coefficients. Le signe du terme linéaire provient du terme $-24x$ obtenu dans le développement du carré.

Answer

$$a=16$$, $$b=-24$$ et $$c=9$$

Question 14

14. Dans quel cas un trinôme peut-il être écrit sous la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ?

Lorsqu’il possède une forme canonique avec un sommet réel

Lorsqu’il présente un coefficient directeur non nul

Lorsqu’il possède trois coefficients réels distincts

Lorsqu’il possède deux racines réelles, éventuellement confondues

Explication

La forme factorisée repose sur des racines réelles $x_1$ et $x_2$ , qui peuvent être confondues. Tout trinôme possède une forme canonique, même lorsqu’il n’a pas de racines réelles.

Answer

Lorsqu’il possède deux racines réelles, éventuellement confondues

Question 15

15. Combien de racines réelles une parabole associée à un trinôme peut-elle avoir ?

Deux ou trois, selon son ouverture

Une seule, correspondant à son sommet

Deux, une seule ou aucune

Une ou deux, mais jamais aucune

Explication

Selon sa position par rapport à l’axe des abscisses, une parabole peut couper cet axe deux fois, le toucher une fois ou ne pas le rencontrer. Ces trois situations correspondent respectivement à deux racines, une racine ou aucune racine réelle.

Answer

Deux, une seule ou aucune

QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles solutions obtient-on à partir de l’équation factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ?

2. Quelle forme caractérise un trinôme défini sur $\mathbb{R}$ ?

3. Laquelle de ces expressions est la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

4. Quelle expression donne le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

5. Comment l’orientation de la parabole varie-t-elle selon le signe de $a$ dans $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Quelle est la courbe représentative d’un trinôme dans un repère orthonormé ?

7. Que signifie résoudre une équation ou une inéquation dans $\mathbb{R}$ ?

8. Quelle nature de sommet possède une parabole selon le signe de $a$ ?

9. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $2x^2-2=0$ ?

10. Comment définit-on une racine d’un polynôme $P$ ?

11. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles formules donnent les coordonnées $S(\alpha;\beta)$ du sommet ?

12. Si le sommet d’une parabole a pour abscisse $\alpha$ , quelle est son axe de symétrie ?

13. Après développement et réduction de $(4x-3)^2$ , quelles sont les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ dans la forme $ax^2+bx+c$ ?

14. Dans quel cas un trinôme peut-il être écrit sous la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ?

15. Combien de racines réelles une parabole associée à un trinôme peut-elle avoir ?

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QCM : Fonctions du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles solutions obtient-on à partir de l’équation factorisée a(x−x1)(x−x2)=0a(x-x_1)(x-x_2)=0a(x−x1​)(x−x2​)=0 ?

2. Quelle forme caractérise un trinôme défini sur R\mathbb{R}R ?

3. Laquelle de ces expressions est la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

4. Quelle expression donne le discriminant du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

5. Comment l’orientation de la parabole varie-t-elle selon le signe de aaa dans f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

6. Quelle est la courbe représentative d’un trinôme dans un repère orthonormé ?

7. Que signifie résoudre une équation ou une inéquation dans R\mathbb{R}R ?

8. Quelle nature de sommet possède une parabole selon le signe de aaa ?

9. Quelles sont les solutions réelles de l’équation 2x2−2=02x^2-2=02x2−2=0 ?

10. Comment définit-on une racine d’un polynôme PPP ?

11. Pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelles formules donnent les coordonnées S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β) du sommet ?

12. Si le sommet d’une parabole a pour abscisse α\alphaα, quelle est son axe de symétrie ?

13. Après développement et réduction de (4x−3)2(4x-3)^2(4x−3)2, quelles sont les valeurs de aaa, bbb et ccc dans la forme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

14. Dans quel cas un trinôme peut-il être écrit sous la forme factorisée f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) ?

15. Combien de racines réelles une parabole associée à un trinôme peut-elle avoir ?

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1. Quelles solutions obtient-on à partir de l’équation factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ?

2. Quelle forme caractérise un trinôme défini sur $\mathbb{R}$ ?

4. Quelle expression donne le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

5. Comment l’orientation de la parabole varie-t-elle selon le signe de $a$ dans $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

7. Que signifie résoudre une équation ou une inéquation dans $\mathbb{R}$ ?

8. Quelle nature de sommet possède une parabole selon le signe de $a$ ?

9. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $2x^2-2=0$ ?

10. Comment définit-on une racine d’un polynôme $P$ ?

11. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles formules donnent les coordonnées $S(\alpha;\beta)$ du sommet ?

12. Si le sommet d’une parabole a pour abscisse $\alpha$ , quelle est son axe de symétrie ?

13. Après développement et réduction de $(4x-3)^2$ , quelles sont les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ dans la forme $ax^2+bx+c$ ?

14. Dans quel cas un trinôme peut-il être écrit sous la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ?