QCM : Fonctions du second degré — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction du second degré sur R\mathbb{R} ?

f(x)=3x2+1f(x)=3x^2+1 pour une seule valeur de xx
f(x)=3x−5f(x)=3x-5
f(x)=3x3−5x+1f(x)=3x^3-5x+1
f(x)=3x2−5x+1f(x)=3x^2-5x+1

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Explication

Une fonction du second degré s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\neq0 et est définie pour tout réel xx. L’expression affine ne contient pas de terme en x2x^2, tandis que l’expression cubique est de degré trois.

2. Que représente la parabole associée à une fonction du second degré ?

La courbe représentative de cette fonction
La droite passant par son sommet
L’ensemble de ses coefficients réels
L’expression développée de cette fonction

La courbe représentative de cette fonction

Explication

Une parabole est la courbe représentative d’une fonction du second degré. Une expression algébrique ou une droite ne constitue pas la représentation graphique elle-même.

3. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’une fonction du second degré ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
f(x)=a(x2−α)+βf(x)=a(x^2-\alpha)+\beta
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
f(x)=a(x−α)+βf(x)=a(x-\alpha)+\beta

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

La forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, avec α\alpha et β\beta réels. L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée, tandis que les deux autres expressions ne sont pas la forme canonique générale.

4. Quelle succession d’opérations permet de transformer un trinôme en forme canonique ?

Factoriser le coefficient de x2x^2, compléter le carré, puis regrouper les constantes
Remplacer les coefficients par leurs opposés, compléter le carré, puis réduire le degré
Développer le carré, supprimer le terme constant, puis factoriser les coefficients
Regrouper les termes en xx, extraire la racine, puis développer le carré

Factoriser le coefficient de $$x^2$$, compléter le carré, puis regrouper les constantes

Explication

La méthode consiste à factoriser d’abord le coefficient de x2x^2 si nécessaire, puis à compléter le carré et à regrouper les constantes. Les autres démarches modifient l’expression ou n’appliquent pas la méthode de complétion du carré.

5. Quelle affirmation s’applique à tout polynôme du second degré ?

Il possède un terme cubique non nul
Il ne peut pas être défini pour tout réel
Il admet une écriture sous forme canonique
Il est nécessairement représenté par une droite

Il admet une écriture sous forme canonique

Explication

Tout polynôme du second degré possède une forme canonique. Un terme cubique caractérise plutôt un polynôme de degré trois, et une fonction du second degré est définie sur tous les réels.

6. Pour g(x)=−2(x−4)2+7g(x)=-2(x-4)^2+7, quelles sont les valeurs de aa, α\alpha et β\beta ?

a=−2a=-2, α=−4\alpha=-4 et β=7\beta=7
a=−2a=-2, α=4\alpha=4 et β=7\beta=7
a=2a=2, α=−4\alpha=-4 et β=−7\beta=-7
a=4a=4, α=−2\alpha=-2 et β=7\beta=7

$$a=-2$$, $$\alpha=4$$ et $$\beta=7$$

Explication

En comparant avec a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, on lit directement a=−2a=-2, α=4\alpha=4 et β=7\beta=7. Le signe de α\alpha est l’opposé du signe affiché dans une écriture du type x−αx-\alpha, mais ici l’expression contient déjà x−4x-4.

7. Quelle forme canonique obtient-on pour g(x)=x2−6x+2g(x)=x^2-6x+2 ?

g(x)=(x−3)2−7g(x)=(x-3)^2-7
g(x)=(x+3)2−7g(x)=(x+3)^2-7
g(x)=(x−6)2+2g(x)=(x-6)^2+2
g(x)=(x−3)2+7g(x)=(x-3)^2+7

$$g(x)=(x-3)^2-7$$

Explication

La complétion du carré donne x2−6x+2=(x−3)2−7x^2-6x+2=(x-3)^2-7, donc les paramètres sont α=3\alpha=3 et β=−7\beta=-7. Le signe devant le terme constant final ne peut pas être inversé, et x+3x+3 correspondrait à une autre abscisse de sommet.

8. Pour une fonction du second degré dont le coefficient aa est positif, comment évolue la fonction autour de son sommet d’abscisse α\alpha ?

Elle croît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis décroît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[, avec un maximum en α\alpha.
Elle décroît sur les deux intervalles autour de α\alpha, sans valeur extrémale au sommet.
Elle croît sur les deux intervalles autour de α\alpha, en atteignant un minimum avant α\alpha.
Elle décroît sur ]−∞;α]]-\infty;\alpha] puis croît sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[, avec un minimum en α\alpha.

Elle décroît sur $$]-\infty;\alpha]$$ puis croît sur $$[\alpha;+\infty[$$, avec un minimum en $$\alpha$$.

Explication

Lorsque a>0a>0, la parabole descend jusqu’à l’abscisse α\alpha, où elle atteint sa valeur minimale β\beta, puis elle remonte. Le cas d’une croissance suivie d’une décroissance correspond à une parabole tournée vers le bas, associée à a<0a<0.

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Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ?

Une fonction définie par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a \neq 0.

Que désignent les formes ax2+bx+cax^2+bx+c et a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta ?

La forme développée et la forme canonique d'une fonction du second degré.

Qu'est-ce que la parabole en lien avec une fonction du second degré ?

La courbe représentative d'une fonction du second degré.

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