Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation paraboliques
2. Forme canonique et complétion du carré
3. Paramètres et exemples canoniques
4. Variations selon le signe de a

📖 1. Définition et représentation paraboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie sur ℝ telle qu’il existe trois réels a, b et c, avec a ≠ 0, vérifiant pour tout réel x : $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Parabole : Courbe représentative d’une fonction du second degré.

📝 Points essentiels

📌 Les expressions ax²+bx+c et a(x−α)²+β désignent respectivement la forme développée et la forme canonique d’une même fonction du second degré.

💡 Astuce mémo

Le terme x³ sort du second degré, tandis que ax²+bx+c avec a≠0 y reste.

📖 2. Forme canonique et complétion du carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ d’une fonction du second degré, où α et β sont des réels.

★ À maîtriser

• Pour mettre un trinôme sous forme canonique, on factorise d’abord le coefficient de x² si nécessaire, puis on complète le carré et on regroupe les constantes.

• Tout polynôme du second degré admet une forme canonique.

Compléments

• Le trinôme $f(x)=x^2+2x$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=(x+1)^2-1$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → obtenir le sommet.

📖 3. Paramètres et exemples canoniques

★ À maîtriser

• Pour $g(x)=-2(x-4)^2+7$, on a a=−2, α=4 et β=7.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

• Le trinôme $g(x)=x^2-6x+2$ s’écrit $g(x)=(x-3)^2-7$, donc α=3 et β=−7.

💡 Astuce mémo

La parabole se place autour de son sommet (α, β), puis s’ouvre selon le signe de a.

📖 4. Variations selon le signe de a

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Fonction telle que, pour tous x,y∈I, x<y implique f(x)<f(y).
• Fonction décroissante : Fonction telle que, pour tous x,y∈I, x<y implique f(x)>f(y).

📝 Points essentiels

📌 Si a>0, la fonction du second degré est strictement décroissante sur ]−∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[, et elle atteint sa valeur minimale β en α.

💡 Astuce mémo

a>0 : la parabole descend puis monte ; a<0 : elle monte puis descend.

📊 Tableaux de synthèse

Variations selon le signe de a