Fiche de révision : Fonctions d’une variable réelle

📋 Plan du Cours

1. Notion et représentation des fonctions
2. Domaine de définition
3. Fonctions linéaires et affines
4. Coefficient directeur d’une droite
5. Variations, zéros et signe
6. Fonctions usuelles
7. Résolution graphique d’équations
8. Modélisation et applications professionnelles

📖 1. Notion et représentation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque valeur x de son ensemble de départ une unique valeur f(x), notée aussi y=f(x).

★ À maîtriser

📌 Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction, tandis que trouver un antécédent de y revient à résoudre f(x)=y.

• La courbe représentative de f est l’ensemble des points M(x ; f(x)) dans un repère.

Compléments

• Sur une courbe, on lit l’image en partant de x sur l’axe horizontal jusqu’à la courbe, et un antécédent en partant de y sur l’axe vertical jusqu’à la courbe puis à l’axe des abscisses.

• L’équation x²=16 a deux solutions, −4 et 4, donc 16 possède deux antécédents par la fonction carré.

💡 Astuce mémo

L’image part de x vers f(x) ; l’antécédent remonte de y vers x.

📖 2. Domaine de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles l’expression de la fonction a un sens.

★ À maîtriser

📌 Un dénominateur ne peut pas être nul et le nombre sous une racine carrée doit être positif ou nul.

Compléments

• La fonction 1/x a pour domaine ℝ{0}, la fonction √(x−3) a pour domaine [3,+∞[, et toute fonction affine ax+b a pour domaine ℝ.

• Pour f(x)=1/(x−5), la condition x−5≠0 donne le domaine ℝ{5}.

📖 3. Fonctions linéaires et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax et sa représentation graphique passe par l’origine.
• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+b, où a est la pente de la droite et b son ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine, a>0 implique une fonction croissante, a<0 une fonction décroissante et a=0 une fonction constante.

Compléments

• Dans f(x)=−3x+12, le coefficient directeur est a=−3 et l’ordonnée à l’origine est b=12.

📖 4. Coefficient directeur d’une droite

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une droite passant par A(x₁,y₁) et B(x₂,y₂), avec x₁≠x₂, le coefficient directeur est $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

• Pour déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points, on calcule d’abord son coefficient directeur, puis on utilise les coordonnées de l’un des points pour déterminer b.

Compléments

• La droite passant par A(2;5) et B(6;17) a pour coefficient directeur 3 et pour équation f(x)=3x−1.

📖 5. Variations, zéros et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Zéro : Solution de l’équation f(x)=0.

★ À maîtriser

📌 Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur est positif, décroissante s’il est négatif et constante s’il est nul.

📐 Formule - Pour une fonction affine ax+b avec a≠0, le zéro est $x=-\frac{b}{a}$.

Compléments

📌 Pour une fonction affine non constante, si son zéro est r, elle est négative avant r puis positive après r lorsque a>0, et positive avant r puis négative après r lorsque a<0.

💡 Astuce mémo

Le signe de a fixe la variation et, autour du zéro, le sens du signe.

📖 6. Fonctions usuelles

📝 Points essentiels

• La fonction carré x² a pour domaine ℝ, atteint son minimum 0 en x=0, et sa courbe est une parabole.

• La fonction inverse 1/x a pour domaine ℝ{0}, car x=0 est interdit, et sa courbe possède deux branches.

• La fonction cube x³ a pour domaine ℝ et est croissante sur ℝ.

📖 7. Résolution graphique d’équations

★ À maîtriser

📌 Résoudre graphiquement f(x)=k revient à chercher les abscisses des points où la courbe de f rencontre la droite horizontale y=k.

📌 Résoudre graphiquement f(x)=g(x) revient à chercher les abscisses des points d’intersection des courbes de f et de g.

Compléments

• Les solutions de f(x)=0 sont les abscisses des points où la courbe de f coupe l’axe des abscisses.

📖 8. Modélisation et applications professionnelles

★ À maîtriser

• Une fonction affine peut modéliser :
  • un coût fixe augmenté d’un coût variable
  • une recette
  • une quantité consommée
  • une évolution régulière

📌 Dans un modèle professionnel, il faut identifier ce que représente la variable x et préciser les unités.

• Le point d’équilibre entre un coût et une recette se détermine en résolvant C(x)=R(x) ; pour C(x)=15x+800 et R(x)=30x+200, il est atteint à 40 unités.

Compléments

• Pour C(x)=15x+800, où x est le nombre d’unités produites, C(100)=2300 et 800 € représente le coût fixe du modèle.