Fiche de révision : Fonctions et agrandissements

📋 Plan du Cours

1. Notations et vocabulaire des fonctions
2. Expressions et calculs de fonctions
3. Lecture d’un tableau de valeurs
4. Théorème de Pythagore et réciproque
5. Agrandissement et réduction
6. Effets sur les aires et volumes

📖 1. Notations et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à chaque nombre de départ x un unique nombre obtenu, noté f(x).
• Image : Le nombre f(x) est l’image du nombre x par la fonction f.
• Antécédent : Nombre x tel que f(x)=d.

📝 Points essentiels

• Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents par une fonction.

• Pour la fonction définie par f(x)=x², 25 est l’image de 5 et de −5, qui sont ses deux antécédents.

💡 Astuce mémo

L’antécédent entre dans la fonction ; l’image en sort.

📖 2. Expressions et calculs de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression algébrique : Égalité qui définit la fonction et permet de calculer des images et des antécédents.

★ À maîtriser

• Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée par une expression, on remplace x par ce nombre puis on effectue le calcul.

• Pour trouver un antécédent, on peut remonter le programme de calcul en effectuant les opérations inverses ou résoudre l’équation f(x)=d.

Compléments

• Pour f(x)=3x−8, l’image de −1 est f(−1)=3×(−1)−8=−11.

• Pour f(x)=3x−8, l’équation f(x)=7 donne 3x−8=7, donc x=5 ; 5 est l’unique antécédent de 7.

📖 3. Lecture d’un tableau de valeurs

★ À maîtriser

• Un tableau de valeurs présente les antécédents x sur la première ligne et les images f(x) sur la deuxième ligne.

• Pour lire une image dans un tableau, on repère x sur la première ligne puis on lit la valeur correspondante sur la ligne f(x).

• Pour chercher les antécédents d’une valeur dans un tableau, on la repère sur la ligne f(x) puis on lit les valeurs correspondantes sur la ligne x.

Compléments

• Dans le tableau donné, les antécédents de 0 sont 2 et 4, car f(2)=0 et f(4)=0.

• Un tableau de valeurs permet de lire les valeurs de f(x) uniquement pour les valeurs de x qui y figurent.

💡 Astuce mémo

Pour une image, on lit de la ligne x vers la ligne f(x) ; pour un antécédent, on remonte de f(x) vers x.

📖 4. Théorème de Pythagore et réciproque

★ À maîtriser

📌 Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, si c est l’hypoténuse et a et b les deux autres côtés, $c^2=a^2+b^2$.

📌 Si le carré du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Dans un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 24 cm et 32 cm, l’hypoténuse mesure 40 cm.

• Dans un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit 12 cm, l’autre côté de l’angle droit mesure 5 cm.

• Pour tester si un triangle est rectangle avec ses trois longueurs, on repère le plus grand côté, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres, puis on conclut selon l’égalité ou l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Égalité pour un triangle rectangle ; égalité réciproque pour prouver qu’il l’est.

📖 5. Agrandissement et réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement ou réduction : Construction d’une figure de même forme en multipliant toutes ses longueurs par un même nombre positif k, appelé rapport, coefficient ou échelle.

★ À maîtriser

📌 Si k>1, la figure obtenue est un agrandissement ; si 0<k<1, c’est une réduction ; si k=1, elle est superposable à la figure initiale.

📐 Formule - Le rapport d’agrandissement ou de réduction est $k=\frac{\text{longueur sur la figure obtenue}}{\text{longueur correspondante sur la figure initiale}}$.

Compléments

• Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs correspondantes de la figure initiale.

• Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont conservées.

💡 Astuce mémo

k > 1 agrandit ; 0 < k < 1 réduit ; k = 1 conserve la figure.

📖 6. Effets sur les aires et volumes

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k>0, l’aire obtenue est $A'=A\times k^2$.

📐 Formule - Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k>0, le volume obtenu est $V'=V\times k^3$.

📐 Formule - Une longueur obtenue par agrandissement ou réduction vérifie $L'=L\times k$.

Compléments

• Un objet réduit de 2 m à 1,60 m a un coefficient de réduction de 0,8.

• Pour un objet de volume initial 120 dm³ réduit avec un rapport de 0,8, le volume obtenu est 61,44 dm³.

• Un agrandissement faisant passer une diagonale de 5 cm à 8 cm a un coefficient de 1,6.

• Une aire initiale de 12 cm² agrandie avec un rapport de 1,6 devient 30,72 cm².