QCM : Fonctions et agrandissements (18 questions)

Explication

Une fonction associe à chaque nombre de départ un seul nombre obtenu, que l’on note $f(x)$. L’idée qu’une même entrée puisse donner plusieurs résultats confond une fonction avec une relation plus générale.

Explication

Le nombre $f(x)$ est le résultat obtenu lorsque la fonction $f$ prend $x$ comme entrée : c’est son image. Un antécédent est plutôt une valeur d’entrée associée à une image donnée.

Explication

Par définition, $x$ est un antécédent de $d$ lorsque son image par $f$ vaut $d$, donc lorsque $f(x)=d$. L’égalité $f(d)=x$ inverse les rôles de l’entrée et du résultat.

Explication

L’égalité $f(x)=3x-8$ est l’expression algébrique de la fonction et permet de déterminer images et antécédents. La réduire à un calcul d’images néglige qu’on peut aussi résoudre une équation de la forme $f(x)=d$.

Explication

Pour calculer une image, on substitue la valeur donnée à la variable $x$, puis on effectue les opérations. Poser l’expression égale à $4$ correspond plutôt à la recherche d’un antécédent de $4$.

Explication

Chercher un antécédent revient à retrouver l’entrée qui donne $d$ : on peut inverser les opérations du programme ou résoudre $f(x)=d$. Remplacer directement $x$ par $d$ calcule l’image de $d$, ce qui répond à une autre question.

Explication

La première ligne présente les nombres de départ $x$, et la deuxième leurs images $f(x)$. Inverser ces lignes revient à confondre les entrées de la fonction avec les résultats correspondants.

Explication

Pour lire l’image de $x$, on localise d’abord ce nombre sur la ligne des antécédents, puis on lit la valeur associée sur la ligne $f(x)$. Chercher $x$ sur la ligne des images inverse les rôles des deux lignes.

Explication

Les antécédents de $d$ sont les valeurs de $x$ dont l’image vaut $d$ : on repère donc $d$ sur la ligne $f(x)$ et on lit les valeurs correspondantes sur la ligne $x$. Repérer $d$ parmi les nombres de départ ne permet pas d’identifier les entrées qui ont $d$ pour image.

Explication

Le théorème de Pythagore affirme que le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. La somme des longueurs, plutôt que celle de leurs carrés, ne donne pas cette relation.

Explication

Comme le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, la réciproque du théorème de Pythagore établit que le triangle est rectangle. L’égalité des longueurs n’est pas le critère de cette réciproque.

Explication

Le théorème de Pythagore donne $c^2=24^2+32^2=1600$, donc l’hypoténuse mesure 40 cm. La somme des deux côtés de l’angle droit donne 56 cm, mais ce n’est pas la longueur de l’hypoténuse.

Explication

Un agrandissement ou une réduction construit une figure de même forme en multipliant toutes les longueurs par un même rapport positif. Ajouter une même valeur aux longueurs ne garantit pas que la figure conserve ses proportions.

Explication

Un rapport strictement compris entre 0 et 1 correspond à une réduction. Un rapport supérieur à 1 indique au contraire un agrandissement.

Explication

Le rapport est le quotient de la longueur mesurée sur la figure obtenue par la longueur correspondante sur la figure initiale. Inverser ce quotient donne le rapport inverse, et non le rapport demandé.

Explication

L’aire est multipliée par le carré du rapport, donc ici $A'=A\times 3^2=9A$. Le facteur 3 correspond à la transformation des longueurs, pas à celle des aires.

Explication

Le volume varie selon le cube du rapport : $k^3=0{,}5^3=0{,}125$. Le facteur $0{,}5$ s’applique aux longueurs, tandis que le facteur $0{,}25$ correspondrait aux aires.

Explication

Une longueur transformée vérifie $L'=L\times k$, donc $L'=7\times1{,}4=9{,}8$ cm. Le facteur utilisé pour une aire serait le carré du rapport, et ne convient pas au calcul d’une longueur.