Fiche de révision : Fonctions et dérivées à une variable

📋 Plan du Cours

1. Définitions et propriétés des fonctions
2. Limites et asymptotes
3. Continuité des fonctions
4. Dérivée et interprétation géométrique
5. Règles de dérivation et variations
6. Logarithmes et exponentielles
7. Étude complète d’une fonction

📖 1. Définitions et propriétés des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : associe à chaque élément x de son ensemble de définition D_f une valeur f(x), avec D_f inclus dans ℝ.
• Fonction paire : si, pour tout x appartenant à D_f, f(-x)=f(x).
• Fonction impaire : si, pour tout x appartenant à D_f, f(-x)=-f(x).
• Fonction réciproque : La fonction réciproque f⁻¹ vérifie y=f(x) si et seulement si x=f⁻¹(y), et les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
• Fonction périodique : si, pour tout x appartenant à D_f, f(x+T)=f(x).

★ À maîtriser

📌 Une fonction est croissante lorsque x≤x' implique f(x)≤f(x'), et décroissante lorsque x≤x' implique f(x)≥f(x').

Compléments

📌 Une fonction majorée vérifie f(x)≤M, une fonction minorée vérifie m≤f(x), et une fonction bornée vérifie simultanément -M≤f(x)≤M pour tout x de son domaine.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie autour de l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie autour de l’origine

📖 2. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : La limite d’une fonction en un point ou à l’infini décrit la valeur vers laquelle la fonction tend lorsque la variable se rapproche de ce point ou devient infinie.
• Asymptote verticale : La droite d’équation x=x₀ est une asymptote verticale si lim quand x tend vers x₀ de f(x) vaut +∞ ou -∞.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=b est une asymptote horizontale si lim quand x tend vers +∞ ou -∞ de f(x) vaut b.
• Asymptote oblique : La droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique si lim quand x tend vers +∞ ou -∞ de [f(x)-ax-b] vaut 0.

📝 Points essentiels

📌 Lorsque les limites existent, la limite d’une somme est la somme des limites, celle d’un produit est le produit des limites et celle d’un quotient est le quotient des limites lorsque le dénominateur limite vers une valeur non nulle.

💡 Astuce mémo

Limite infinie → branche infinie → asymptote éventuelle

📖 3. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : définie sur un intervalle est continue en x₀ si sa limite en x₀ est égale à f(x₀).

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, il existe x₀ dans [a,b] tel que f(x₀)=0.

Compléments

📌 Une fonction est continue en un point intérieur si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en ce point.

📖 4. Dérivée et interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : la limite finie du taux d’accroissement quand h tend vers 0 existe ; cette limite est le nombre dérivé f'(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le taux d’accroissement entre a et a+h est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec h non nul.

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite finie → nombre dérivé → tangente

📖 5. Règles de dérivation et variations

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable et f' est positive, alors f est croissante ; si f' est négative, alors f est décroissante.

📌 Si f est deux fois dérivable et f'' est positive, f est convexe ; si f'' est négative, f est concave.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et $(g\circ f)'=(g'\circ f)f'.$

Compléments

📌 Si f''(x₀)=0 et f'' change de signe en x₀, alors la courbe possède un point d’inflexion en x₀.

💡 Astuce mémo

Dérivée première : variations ; dérivée seconde : convexité

📖 6. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0,+∞[, est une bijection de ]0,+∞[ dans ℝ et vérifie $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.
• Exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction réciproque du logarithme népérien et vérifie, pour tout réel x et y>0, exp(x)=y si et seulement si x=ln(y).
• Logarithme de base : Pour a>0 et a≠1, le logarithme de base a est défini par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ sur ]0,+∞[.

★ À maîtriser

📌 Pour a>0 et b>0, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ ; si f>0 est dérivable, alors $(\ln f)'=\frac{f'}{f}$.

Compléments

📌 Pour tous réels x et y, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ et, pour une fonction dérivable f, $(\exp f)'=f'\exp(f)$.

💡 Astuce mémo

ln et exp sont réciproques : ln(exp x)=x et exp(ln x)=x

📖 7. Étude complète d’une fonction

★ À maîtriser

• 🔄 L’étude d’une fonction suit les étapes suivantes:
  1. Détermination du domaine de définition
  2. Étude de la symétrie
  3. Étude de la continuité et de la dérivabilité
  4. Étude des variations et de la concavité
  5. Analyse du comportement à l’infini
  6. Recherche des asymptotes
  7. Construction du tableau de variation
  8. Construction de la courbe représentative

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}$, le domaine de définition est ℝ{1}, la fonction est croissante sur son domaine et la droite x=1 est une asymptote verticale.

💡 Astuce mémo

Domaine → symétrie → continuité → dérivabilité → variations → concavité → asymptotes → courbe