QCM : Fonctions et variations (30 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’écriture f(x)=yf(x)=y lorsqu’on décrit une fonction ?

La fonction associe à xx plusieurs valeurs possibles, dont yy.
La fonction exclut xx de son ensemble de définition.
La fonction associe à xx l’unique valeur yy comme image.
La fonction associe à yy l’unique valeur xx comme image.

La fonction associe à $$x$$ l’unique valeur $$y$$ comme image.

Explication

Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition une seule image, notée f(x)f(x). L’idée qu’un nombre puisse avoir plusieurs antécédents concerne la relation entre une image et les nombres qui lui sont associés, et non le nombre d’images de xx.

2. Si f(3)=7f(3)=7 et f(5)=7f(5)=7, quels nombres sont des antécédents de 77 par ff ?

33 est l’unique antécédent de 77, car une image ne peut en avoir qu’un.
55 est l’image de 77, tandis que 33 n’est pas associé à cette valeur.
33 et 55 sont deux antécédents de 77.
77 est l’unique antécédent de 33 et de 55.

$$3$$ et $$5$$ sont deux antécédents de $$7$$.

Explication

Un nombre xx est un antécédent de yy lorsque f(x)=yf(x)=y ; les deux égalités données font donc de 33 et 55 des antécédents de 77. Une fonction impose une seule image à chaque antécédent, mais une même image peut avoir plusieurs antécédents.

3. Sur la courbe d’une fonction, comment repère-t-on l’image d’un nombre donné et les antécédents d’une valeur donnée ?

L’image se lit sur l’axe des ordonnées et les antécédents sur l’axe des abscisses.
L’image et les antécédents se lisent tous sur l’axe des ordonnées.
L’image se lit sur l’axe des abscisses et les antécédents sur l’axe des ordonnées.
L’image et les antécédents se lisent tous sur l’axe des abscisses.

L’image se lit sur l’axe des ordonnées et les antécédents sur l’axe des abscisses.

Explication

Pour lire l’image, on repère l’ordonnée du point de la courbe correspondant à l’abscisse donnée ; pour trouver les antécédents, on repère les abscisses des points ayant l’ordonnée donnée. Inverser ces axes conduit à échanger la lecture des images et celle des antécédents.

4. Quelle description caractérise l’ensemble de définition d’une fonction ?

L’ensemble des images obtenues lorsque tous les antécédents varient.
L’ensemble des nombres pour lesquels la fonction prend la valeur zéro.
L’ensemble des nombres qui possèdent une image par cette fonction.
L’ensemble des nombres qui possèdent au moins deux antécédents par cette fonction.

L’ensemble des nombres qui possèdent une image par cette fonction.

Explication

L’ensemble de définition rassemble les valeurs de xx auxquelles la fonction associe une image. L’ensemble des images correspond plutôt aux valeurs prises par la fonction, ce qui est une notion différente.

5. Pour déterminer où une fonction quotient est définie, quelle condition faut-il imposer à son dénominateur ?

Il doit être positif ou nul pour les valeurs admises de xx.
Il doit être différent de zéro pour les valeurs admises de xx.
Il doit être défini sur l’ensemble des nombres réels pour les valeurs admises de xx.
Il doit être égal au numérateur pour les valeurs admises de xx.

Il doit être différent de zéro pour les valeurs admises de $$x$$.

Explication

Un quotient n’est pas défini lorsque son dénominateur s’annule, car une division par zéro est impossible. La condition d’être positif ou nul concerne le radicande d’une racine carrée dans les réels.

6. Pour quelles valeurs de xx l’expression x−4\sqrt{x-4} est-elle définie dans les réels ?

Pour les valeurs telles que x−4≠0x-4\neq 0.
Pour les valeurs telles que x−4≤0x-4\leq 0.
Pour les valeurs telles que x−4≥0x-4\geq 0.
Pour les valeurs telles que x−4>0x-4>0.

Pour les valeurs telles que $$x-4\geq 0$$.

Explication

Une racine carrée réelle est définie lorsque son radicande est positif ou nul, ce qui impose ici x−4≥0x-4\geq 0. Exiger une inégalité stricte exclurait à tort le cas où le radicande vaut zéro.

7. À une abscisse donnée, on constate que f(x)<g(x)f(x)<g(x) ; quelle position relative ont alors les courbes ?

Les deux courbes se coupent à cette abscisse.
La courbe de ff est au-dessus de celle de gg.
La courbe de ff est au-dessous de celle de gg.
La courbe de gg est confondue avec celle de ff à toutes les abscisses.

La courbe de $$f$$ est au-dessous de celle de $$g$$.

Explication

À abscisse égale, la fonction de plus petite valeur a la courbe la plus basse ; ainsi, f(x)<g(x)f(x)<g(x) place la courbe de ff au-dessous de celle de gg. Des courbes qui se coupent à cette abscisse correspondent à l’égalité des deux valeurs, et non à une inégalité stricte.

8. Pour comparer deux fonctions par le calcul, que permet de conclure le signe négatif de f(x)−g(x)f(x)-g(x) sur un intervalle ?

La courbe de ff est au-dessous de celle de gg sur cet intervalle.
La courbe de gg est au-dessous de celle de ff seulement aux extrémités.
Les courbes se coupent en chaque point de cet intervalle.
La courbe de ff est au-dessus de celle de gg sur cet intervalle.

La courbe de $$f$$ est au-dessous de celle de $$g$$ sur cet intervalle.

Explication

Si f(x)−g(x)<0f(x)-g(x)<0, alors f(x)<g(x)f(x)<g(x), donc la courbe de ff se trouve au-dessous de celle de gg aux abscisses concernées. Une intersection correspond à un signe nul de la différence, et non à un signe négatif.

9. Sur un intervalle II, quelle condition caractérise une fonction croissante ?

Pour tous a<ba<b dans II, f(a)>f(b)f(a)>f(b).
Pour tous a<ba<b dans II, f(a)≥f(b)f(a)\geq f(b).
Pour tous a<ba<b dans II, f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b).
Pour tous a<ba<b dans II, f(a)<f(b)f(a)<f(b).

Pour tous $$a<b$$ dans $$I$$, $$f(a)\leq f(b)$$.

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre : lorsque a<ba<b, ses valeurs vérifient f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b). La relation inversée correspond à une fonction décroissante.

10. Lorsque ff est décroissante sur II, que peut-on conclure pour a<ba<b dans cet intervalle ?

Les valeurs vérifient f(a)=f(b)f(a)=f(b), donc elles restent constantes.
Les valeurs vérifient f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b), donc l’ordre est conservé.
Les valeurs vérifient f(a)≥f(b)f(a)\geq f(b), donc l’ordre est inversé.
Les valeurs vérifient f(a)<f(b)f(a)<f(b), donc l’ordre est strictement conservé.

Les valeurs vérifient $$f(a)\geq f(b)$$, donc l’ordre est inversé.

Explication

Une fonction décroissante inverse l’ordre : si a<ba<b, alors f(a)≥f(b)f(a)\geq f(b). La relation f(a)≤f(b)f(a)\leq f(b) caractérise plutôt une fonction croissante.

11. Quelle description correspond à la fonction carré ?

La fonction x↦x2x\mapsto x^2, définie sur R\mathbb{R}, dont la courbe est une droite passant par l’origine.
La fonction x↦x3x\mapsto x^3, définie sur R\mathbb{R}, dont la courbe est une parabole de sommet l’origine.
La fonction x↦x2x\mapsto x^2, définie sur R\mathbb{R}, dont la courbe est une parabole de sommet l’origine.
La fonction x↦x2x\mapsto x^2, définie sur [0;+∞[[0;+\infty[, dont la courbe est une parabole de sommet l’origine.

La fonction $$x\mapsto x^2$$, définie sur $$\mathbb{R}$$, dont la courbe est une parabole de sommet l’origine.

Explication

La fonction carré associe à tout réel xx son carré x2x^2, et sa courbe est une parabole de sommet l’origine. La fonction cube associe plutôt xx à x3x^3.

12. Pour k>0k>0, quelles sont les solutions de l’équation x2=kx^2=k ?

k\sqrt{k} uniquement.
−k-k et kk.
Aucune solution réelle.
−k-\sqrt{k} et k\sqrt{k}.

$$-\sqrt{k}$$ et $$\sqrt{k}$$.

Explication

Lorsque k>0k>0, les deux nombres opposés −k-\sqrt{k} et k\sqrt{k} ont pour carré kk. k\sqrt{k} est bien une solution, mais il existe aussi sa solution opposée.

13. Une valeur de xx augmente de −3-3 à −1-1, puis de 11 à 33. Comment varie la fonction carré sur chacun de ces intervalles ?

Elle décroît sur les deux intervalles, car les carrés sont positifs.
Elle croît de −3-3 à −1-1 et décroît de 11 à 33.
Elle décroît de −3-3 à −1-1 et croît de 11 à 33.
Elle croît sur les deux intervalles, car les valeurs de xx augmentent.

Elle décroît de $$-3$$ à $$-1$$ et croît de $$1$$ à $$3$$.

Explication

La fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0] et strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[. L’idée qu’elle croît dès que xx augmente ne tient pas sur la partie négative.

14. Quelle propriété décrit la variation de la fonction cube sur R\mathbb{R} ?

Elle est décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0] et croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.
Elle est strictement décroissante sur R\mathbb{R}.
Elle est croissante sur ]−∞;0]]-\infty;0] et décroissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.
Elle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Elle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

La fonction cube x↦x3x\mapsto x^3 est strictement croissante sur l’ensemble des réels. Le changement de sens de variation proposé pour les intervalles négatif et positif concerne la fonction carré.

15. Combien de solutions réelles possède l’équation x3=kx^3=k pour un réel kk ?

Une seule, égale à la racine carrée de kk.
Aucune si k<0k<0 et une seule si k≥0k\geq0.
Deux, opposées et égales à −k-\sqrt{k} et k\sqrt{k}.
Une seule, égale à la racine cubique de kk.

Une seule, égale à la racine cubique de $$k$$.

Explication

Pour chaque réel kk, l’équation x3=kx^3=k admet une unique solution, sa racine cubique. La distinction entre deux solutions positives et négatives concerne plutôt une équation de la forme x2=kx^2=k lorsque k>0k>0.

16. Quelle expression définit la fonction inverse, et sur quel ensemble est-elle définie ?

x↦x2x\mapsto x^2 sur R\mathbb{R}
x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} sur R\mathbb{R}
x↦xx\mapsto \sqrt{x} sur [0;+∞[[0;+\infty[
x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}

$$x\mapsto \frac{1}{x}$$ sur $$\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Explication

La fonction inverse associe à chaque réel non nul son inverse multiplicatif, et elle n’est pas définie en zéro. La fonction carré, contrairement à elle, est définie en zéro.

17. Comment varie la fonction inverse sur chacun des intervalles ]−∞;0[]-\infty;0[ et ]0;+∞[]0;+\infty[ ?

Elle est décroissante sur le premier et croissante sur le second.
Elle est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.
Elle est strictement croissante sur chacun des deux intervalles.
Elle est croissante sur le premier et décroissante sur le second.

Elle est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.

Explication

La fonction inverse est strictement décroissante séparément sur les deux intervalles de son domaine qui ne contiennent pas zéro. Sa variation n’est donc pas croissante sur l’intervalle positif.

18. Pour un réel x≥0x\geq 0, que représente x\sqrt{x} et quel est le domaine de la fonction racine carrée ?

Le nombre positif dont le double vaut xx, avec un domaine [0;+∞[[0;+\infty[.
Le nombre positif dont le carré vaut xx, avec un domaine [0;+∞[[0;+\infty[.
Le nombre dont l’inverse vaut xx, avec un domaine R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Le nombre dont le carré vaut xx, avec un domaine R\mathbb{R}.

Le nombre positif dont le carré vaut $$x$$, avec un domaine $$[0;+\infty[$$.

Explication

La racine carrée de xx est le nombre positif dont le carré vaut xx, et elle est définie pour les réels positifs ou nuls. Étendre son domaine à tous les réels inclurait des nombres négatifs dont la racine carrée n’est pas définie dans les réels.

19. Si 0≤a<b0\leq a<b, quelle comparaison entre a\sqrt{a} et b\sqrt{b} découle de la variation de la fonction racine carrée ?

a>b\sqrt{a}>\sqrt{b}, car la fonction racine carrée inverse l’ordre sur les réels positifs ou nuls.
a=b\sqrt{a}=\sqrt{b}, car la fonction racine carrée conserve les valeurs sur cet intervalle.
a<b\sqrt{a}<\sqrt{b}, car la fonction racine carrée est strictement croissante sur les réels positifs ou nuls.
La comparaison dépend du fait que aa et bb soient inférieurs ou supérieurs à 11.

$$\sqrt{a}<\sqrt{b}$$, car la fonction racine carrée est strictement croissante sur les réels positifs ou nuls.

Explication

Sur [0;+∞[[0;+\infty[, la fonction racine carrée est strictement croissante, donc elle conserve l’ordre strict entre aa et bb. L’inversion de l’ordre évoquée dans un distracteur concerne la fonction carré sur les réels négatifs, pas la racine carrée.

20. Pour résoudre une équation où une racine carrée est isolée, quelle démarche permet de contrôler les solutions obtenues ?

Imposer que l’autre membre soit négatif ou nul, puis prendre sa valeur absolue.
Imposer d’abord que l’autre membre soit positif ou nul, élever au carré, puis vérifier les candidats dans l’équation initiale.
Élever au carré les deux membres, puis conserver toutes les solutions de l’équation obtenue.
Remplacer la racine par son radicande, puis vérifier que les candidats sont différents de zéro.

Imposer d’abord que l’autre membre soit positif ou nul, élever au carré, puis vérifier les candidats dans l’équation initiale.

Explication

Le membre égal à la racine doit être positif ou nul avant l’élévation au carré, puis les solutions candidates doivent être vérifiées dans l’équation initiale. L’élévation au carré sans vérification peut introduire des solutions qui ne satisfont pas l’équation de départ.

21. Comment exprime-t-on la valeur absolue d’un réel xx selon son signe ?

∣x∣=−x|x|=-x pour tout réel xx.
∣x∣=−x|x|=-x si x≥0x\geq 0 et ∣x∣=x|x|=x si x<0x<0.
∣x∣=x|x|=x pour tout réel xx.
∣x∣=x|x|=x si x≥0x\geq 0 et ∣x∣=−x|x|=-x si x<0x<0.

$$|x|=x$$ si $$x\geq 0$$ et $$|x|=-x$$ si $$x<0$$.

Explication

La valeur absolue est la distance de xx à zéro : elle vaut xx lorsque xx est positif ou nul, et −x-x lorsqu’il est négatif. Inverser ces deux cas donnerait une valeur négative pour un réel strictement positif.

22. Quelle expression donne la distance entre deux réels aa et bb, et quelle identité relie une racine carrée à une valeur absolue ?

La distance est b−ab-a et a2=a\sqrt{a^2}=a.
La distance est ∣b−a∣|b-a| et a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.
La distance est ∣b−a∣|b-a| et a2=a2\sqrt{a^2}=a^2.
La distance est ∣a+b∣|a+b| et a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.

La distance est $$|b-a|$$ et $$\sqrt{a^2}=|a|$$.

Explication

La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence, et la racine carrée de a2a^2 vaut la valeur absolue de aa. Écrire simplement aa à la place de ∣a∣|a| échoue lorsque aa est négatif.

23. Pour un réel r>0r>0, quelle condition sur AA équivaut à ∣A∣=r|A|=r ?

A=rA=r ou A=−rA=-r.
L’équation n’a pas de solution réelle.
A=r2A=r^2 ou A=−r2A=-r^2.
A=rA=r et A=−rA=-r.

$$A=r$$ ou $$A=-r$$.

Explication

Une distance à zéro égale à r>0r>0 correspond aux deux nombres situés à cette distance, soit rr et −r-r. Exiger les deux égalités à la fois est incorrect, car elles désignent des valeurs distinctes.

24. Quel énoncé décrit correctement les variations et le minimum de la fonction valeur absolue ?

Elle décroît strictement sur les deux intervalles et atteint son minimum 00 en 00.
Elle décroît strictement sur ]−∞;0]]-\infty;0], croît strictement sur [0;+∞[[0;+\infty[, et atteint son minimum 00 en 00.
Elle croît strictement sur les deux intervalles et atteint son minimum 00 en 00.
Elle croît strictement sur ]−∞;0]]-\infty;0], décroît strictement sur [0;+∞[[0;+\infty[, et atteint son minimum 00 en 00.

Elle décroît strictement sur $$]-\infty;0]$$, croît strictement sur $$[0;+\infty[$$, et atteint son minimum $$0$$ en $$0$$.

Explication

La valeur absolue diminue lorsque l’on se rapproche de zéro par la gauche, puis augmente à partir de zéro par la droite; sa valeur minimale est 00. Elle n’est donc pas croissante sur la partie négative de son domaine.

25. Quelle forme caractérise une fonction affine définie sur ℝ, et quelle est la forme de sa courbe représentative ?

Elle s’écrit f(x)=ax2+bf(x)=ax^2+b et sa courbe est une parabole d’équation y=ax2+by=ax^2+b.
Elle s’écrit f(x)=ax+bf(x)=ax+b et sa courbe est une droite d’équation y=ax+by=ax+b.
Elle s’écrit f(x)=ax+bf(x)=\frac{a}{x}+b et sa courbe est une hyperbole d’équation y=ax+by=\frac{a}{x}+b.
Elle s’écrit f(x)=ax+bf(x)=a^x+b et sa courbe est une courbe exponentielle d’équation y=ax+by=a^x+b.

Elle s’écrit $$f(x)=ax+b$$ et sa courbe est une droite d’équation $$y=ax+b$$.

Explication

Une fonction affine prend la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b, et sa représentation graphique est la droite d’équation y=ax+by=ax+b. Une fonction du second degré a plutôt une parabole pour courbe représentative.

26. Dans l’équation y=ax+by=ax+b d’une droite, que représentent respectivement aa et bb ?

aa est l’abscisse à l’origine et bb le coefficient directeur.
aa est le coefficient directeur et bb l’ordonnée à l’origine.
aa est le coefficient directeur et bb l’abscisse à l’origine.
aa est l’ordonnée à l’origine et bb le coefficient directeur.

$$a$$ est le coefficient directeur et $$b$$ l’ordonnée à l’origine.

Explication

Dans cette équation, aa indique la variation de yy lorsque xx augmente de 1, tandis que bb est l’ordonnée à l’origine. Confondre leurs rôles revient à attribuer à bb la pente de la droite.

27. Une fonction affine a pour coefficient directeur a=−2a=-2 et s’annule en x=3x=3. Que peut-on conclure sur son sens de variation et sur son signe pour x>3x>3 ?

Elle est croissante et prend des valeurs négatives pour x>3x>3.
Elle est décroissante et prend des valeurs négatives pour x>3x>3.
Elle est croissante et prend des valeurs positives pour x>3x>3.
Elle est décroissante et prend des valeurs positives pour x>3x>3.

Elle est décroissante et prend des valeurs négatives pour $$x>3$$.

Explication

Comme a<0a<0, la fonction est décroissante et possède le signe de aa à droite de son zéro, donc elle y est négative. Une fonction de coefficient directeur négatif n’est pas croissante.

28. Comment calcule-t-on le taux de variation de ff entre deux nombres distincts aa et bb ?

T=f(b)+f(a)b−aT=\frac{f(b)+f(a)}{b-a}
T=f(b)−f(a)b−aT=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
T=b−af(b)−f(a)T=\frac{b-a}{f(b)-f(a)}
T=f(b)−f(a)b+aT=\frac{f(b)-f(a)}{b+a}

$$T=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Explication

Le taux de variation est le quotient de la variation des images par la variation des antécédents, soit f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Inverser ce quotient donne une expression différente qui ne mesure pas le taux de variation demandé.

29. Sur la courbe de ff, quelle grandeur géométrique représente le taux de variation entre deux nombres distincts aa et bb ?

Le coefficient directeur de la sécante passant par A(a;f(a))A(a;f(a)) et B(b;f(b))B(b;f(b)).
L’ordonnée à l’origine de la droite passant par A(a;f(a))A(a;f(a)) et B(b;f(b))B(b;f(b)).
Le coefficient directeur de la tangente en A(a;f(a))A(a;f(a)).
La distance entre les points A(a;f(a))A(a;f(a)) et B(b;f(b))B(b;f(b)).

Le coefficient directeur de la sécante passant par $$A(a;f(a))$$ et $$B(b;f(b))$$.

Explication

Le taux de variation entre aa et bb correspond au coefficient directeur de la sécante reliant les deux points de la courbe. La tangente intervient plutôt lorsque le point BB se rapproche de AA.

30. Sur un intervalle, le taux de variation de ff entre toute paire de nombres distincts est négatif. Quelle propriété de ff en découle ?

La fonction est croissante sur cet intervalle.
La fonction est constante sur cet intervalle.
La fonction est positive sur cet intervalle.
La fonction est décroissante sur cet intervalle.

La fonction est décroissante sur cet intervalle.

Explication

Un taux de variation toujours négatif entre deux nombres distincts de l’intervalle implique que la fonction y est décroissante. La positivité des taux indiquerait au contraire une fonction croissante.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 76 flashcards sur Fonctions et variations.

Qu'associe une fonction à chaque nombre de son ensemble de définition ?

Un unique nombre, appelé son image.

Que peut être le nombre d’antécédents d’une valeur par une fonction ?

Aucun, un ou plusieurs.

Sur quel axe lit-on l’image d’un nombre sur une courbe ?

Sur l’axe des ordonnées.

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