Fiche de révision : Fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Images et antécédents
2. Ensemble de définition
3. Comparer deux fonctions
4. Sens de variation
5. Fonction carré
6. Fonction cube
7. Fonction inverse
8. Fonction racine carrée
9. Valeur absolue et distance
10. Fonctions affines
11. Taux de variation

📖 1. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : À chaque nombre x de son ensemble de définition D un seul nombre, noté f(x), appelé image de x.
• Antécédent : Si f(x)=y, alors x est un antécédent de y par f ; un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

★ À maîtriser

• Sur une courbe, on lit une image sur l’axe des ordonnées et les antécédents d’une valeur sur l’axe des abscisses.

Compléments

• La courbe de f est formée des points de coordonnées (x ; f(x)), et M(a ; b) appartient à cette courbe si et seulement si b=f(a).

💡 Astuce mémo

Image : ordonnée ; antécédent : abscisse

📖 2. Ensemble de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble des nombres x qui ont une image par cette fonction.

★ À maîtriser

📌 Dans un quotient, les valeurs de x qui annulent le dénominateur sont interdites, car la division par zéro est impossible.

📌 Pour qu’une racine carrée soit définie dans les réels, son radicande doit être positif ou nul.

Compléments

• La fonction x↦1/x est définie sur ℝ{0}, tandis que la fonction x↦√x est définie sur [0 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Dénominateur non nul, radicande positif ou nul

📖 3. Comparer deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Position relative : Pour un même x, si f(x)>g(x), la courbe de f est au-dessus de celle de g ; si f(x)<g(x), elle est au-dessous ; si f(x)=g(x), les courbes se coupent.

★ À maîtriser

• Pour comparer f et g par le calcul, on étudie le signe de f(x)-g(x) : un signe positif place la courbe de f au-dessus, un signe négatif au-dessous et un signe nul indique une intersection.

Compléments

📌 Graphiquement, les solutions de f(x)=g(x) sont les abscisses des intersections des courbes, et les solutions de f(x)>g(x) correspondent aux points où la courbe de f est au-dessus de celle de g.

📌 Un graphique permet de conjecturer la position relative des courbes, tandis que le calcul la démontre.

💡 Astuce mémo

Différence positive → première courbe au-dessus

📖 4. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Sur un intervalle I, pour tous a<b dans I, f(a)≤f(b) ; elle conserve alors l’ordre.
• Fonction décroissante : Sur un intervalle I, pour tous a<b dans I, f(a)≥f(b) ; elle inverse alors l’ordre.
• Maximum : Le maximum d’une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur prise par f(x), tandis que son minimum est la plus petite.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction est strictement croissante si a<b entraîne f(a)<f(b), et strictement décroissante si a<b entraîne f(a)>f(b).

💡 Astuce mémo

Croissante conserve l’ordre ; décroissante l’inverse

📖 5. Fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : La fonction x↦x², définie sur ℝ, dont la courbe est une parabole de sommet l’origine.

★ À maîtriser

• L’équation x²=k a deux solutions −√k et √k si k>0, une solution 0 si k=0, et aucune solution si k<0.

• La fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0.

Compléments

• La fonction carré est paire, car (−x)²=x², et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📐 Formule - Pour tous réels a et b, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

💡 Astuce mémo

Une parabole en U, minimale en zéro

📖 6. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : La fonction x↦x³, définie sur ℝ et strictement croissante sur ℝ.

★ À maîtriser

• Pour tout réel k, l’équation x³=k possède une unique solution, la racine cubique de k.

Compléments

• La fonction cube est impaire, car (−x)³=−x³, et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

• Comme la fonction cube est strictement croissante sur ℝ, elle conserve l’ordre : si a≤x≤b, alors a³≤x³≤b³.

💡 Astuce mémo

Le cube conserve l’ordre, même de part et d’autre de zéro

📖 7. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction x↦1/x, définie sur ℝ{0}.

★ À maîtriser

• La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Compléments

• La courbe de la fonction inverse est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine, car la fonction inverse est impaire.

📌 Pour résoudre 1/x=k, on obtient x=1/k lorsque k≠0 ; pour résoudre c/x=k avec c non nul, on peut multiplier par x, qui doit être non nul.

💡 Astuce mémo

Deux branches décroissantes séparées par zéro interdit

📖 8. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est la fonction x↦√x, définie sur [0 ; +∞[ ; pour x≥0, √x est le nombre positif dont le carré vaut x.

★ À maîtriser

• La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

• Pour résoudre une équation où une racine carrée est isolée, on impose d’abord que l’autre membre soit positif ou nul, on élève au carré, puis on vérifie les solutions obtenues dans la condition initiale.

Compléments

📌 Sur [0 ; 1], on a x²≤x≤√x, tandis que sur [1 ; +∞[, on a √x≤x≤x².

💡 Astuce mémo

La racine exige un radicande positif ou nul

📖 9. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 ; elle vaut x si x≥0 et −x si x<0.

★ À maîtriser

📌 La distance entre deux nombres a et b est |b−a|, et pour tout réel a, √(a²)=|a|.

📌 Si r>0, |A|=r équivaut à A=r ou A=−r, tandis que si r<0, l’équation |A|=r n’a aucune solution.

• La fonction valeur absolue est définie sur ℝ, strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0.

Compléments

• La courbe de la fonction valeur absolue est un V symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car la fonction est paire.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue dessine un V dont le sommet est le zéro

📖 10. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x)=ax+b, où a et b sont deux nombres ; sa courbe est la droite d’équation y=ax+b.

★ À maîtriser

📌 Dans y=ax+b, b est l’ordonnée à l’origine et a est le coefficient directeur ; quand x augmente de 1, y varie de a.

📌 Si a≠0, ax+b s’annule en x=−b/a et a le signe de a à droite de cette valeur ; la fonction est croissante si a>0 et décroissante si a<0.

Compléments

• Si a=0, la fonction affine est constante et sa droite est horizontale ; si b=0, elle est linéaire et sa droite passe par l’origine.

• Pour déterminer l’équation réduite de la droite passant par deux points d’abscisses distinctes, on calcule a=(y_B−y_A)/(x_B−x_A), puis b avec l’égalité y_A=ax_A+b.

💡 Astuce mémo

a donne la pente ; b donne l’ordonnée à l’origine

📖 11. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Pour deux nombres distincts a et b où f est définie, le taux de variation de f entre a et b est $T=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

★ À maîtriser

• Le taux de variation entre a et b est le coefficient directeur de la sécante passant par A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)).

📌 Si le taux de variation de f entre deux nombres distincts quelconques d’un intervalle est toujours positif, f est croissante sur cet intervalle ; s’il est toujours négatif, f est décroissante.

Compléments

📐 Formule - Pour la fonction carré, le taux de variation entre a et b, avec a≠b, est $T=a+b$.

• Quand b se rapproche de a, le point B glisse vers A, la sécante (AB) se rapproche de la tangente en A et le taux de variation se rapproche du nombre dérivé de f en a.

💡 Astuce mémo

Deux points → sécante → taux de variation

📊 Tableaux de synthèse

Variations des fonctions de référence