Fiche de révision : Fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentations des fonctions
2. Résolution graphique d’équations
3. Résolution graphique d’inéquations
4. Taux de variation et pente
5. Sens de variation et monotonie

📖 1. Définition et représentations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Une fonction numérique f associe à chaque nombre x de son domaine un unique nombre réel y, noté f(x).
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) peut être calculé.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction, y est l’image de x et x est un antécédent de y ; l’image d’un nombre est unique, tandis qu’un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédent.

Compléments

• Le programme de calcul correspondant à f(x)=2x²−5 est :

  • Élever x au carré.
  • Multiplier le résultat par 2.
  • Soustraire 5.

• Pour la fonction f(x)=2x²−5, f(1)=−3 et f(−5)=45.

• Pour f(x)=2x²−5, les antécédents réels de 3 sont −2 et 2.

💡 Astuce mémo

À x correspond une image unique ; une image peut avoir plusieurs antécédents.

📖 2. Résolution graphique d’équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Représentation graphique d’une fonction f.

★ À maîtriser

📌 Les solutions de f(x)=k sont les antécédents de k par f et se lisent comme les abscisses des intersections de C_f avec la droite horizontale passant par (0;k).

Compléments

• Sur l’exemple graphique défini sur [0;7], les solutions de f(x)=2 sont 0, 3 et 4.

• Sur l’exemple graphique défini sur [0;7], l’équation f(x)=−1 n’a aucune solution.

💡 Astuce mémo

La droite horizontale y = k coupe la courbe aux abscisses solutions.

📖 3. Résolution graphique d’inéquations

★ À maîtriser

📌 Les solutions de f(x)>k correspondent aux abscisses des points de C_f situés au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée k.

📌 Les solutions de f(x)<k correspondent aux abscisses des points de C_f situés en dessous de la droite horizontale d’ordonnée k.

Compléments

📌 Pour résoudre f(x)≤0 graphiquement, on relève les abscisses des points de C_f situés sur ou sous l’axe des abscisses.

• Dans l’exemple sur [−3;4], l’ensemble des solutions de f(x)≤0 est {−1}∪[1;4].

💡 Astuce mémo

f(x) > k : au-dessus de la droite ; f(x) < k : en dessous.

📖 4. Taux de variation et pente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre deux réels distincts a et b de son intervalle de définition est $\tau(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

★ À maîtriser

📌 Pour A(a;f(a)) et B(b;f(b)) sur C_f, le taux de variation entre a et b est la pente de la droite (AB).

Compléments

📐 Formule - Le taux de variation de f entre −1 et 3 pour f(x)=3x²−4 vaut $\tau(-1{,}3)=6$.

• Une pente de 6 signifie que lorsque l’on avance de 1 vers la droite sur la droite, on monte de 6.

• Une pente de −6 signifie que lorsque l’on avance de 1 vers la droite sur la droite, on descend de 6.

💡 Astuce mémo

Le taux de variation est la pente de la sécante reliant A et B.

📖 5. Sens de variation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction strictement croissante : Une fonction f est strictement croissante sur I si, pour tous a et b de I tels que a<b, f(a)<f(b).
• Fonction strictement décroissante : Une fonction f est strictement décroissante sur I si, pour tous a et b de I tels que a<b, f(a)>f(b).
• Fonction constante : Une fonction f est constante sur I s’il existe un réel k tel que f(x)=k pour tout x de I.
• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur I si elle y est croissante, décroissante ou constante.

★ À maîtriser

📌 Si le taux de variation est strictement positif pour tous les réels distincts a et b de I, alors f est strictement croissante sur I.

Compléments

📌 Si le taux de variation est strictement négatif pour tous les réels distincts a et b de I, alors f est strictement décroissante sur I.

📌 Si le taux de variation est nul pour tous les réels distincts a et b de I, alors f est constante sur I.

💡 Astuce mémo

Quand x augmente, f(x) augmente, diminue ou reste constante.