Fiche de révision : Calcul numérique et puissances

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et facteurs premiers
2. Simplification et multiplication des fractions
3. Comparaison et somme de fractions
4. Division par une fraction
5. Notation des puissances
6. Règles de calcul des puissances
7. Signe et priorités des puissances

📖 1. Divisibilité et facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier qui le divise sans reste ; par exemple, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
• Nombre premier : Nombre entier strictement supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier strictement supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

• Pour décomposer un entier supérieur à 1 en facteurs premiers, on examine ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant, on divise par le premier choisi, on le réutilise tant que le quotient est divisible par lui, puis on passe au suivant.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.

• La décomposition de 90 en facteurs premiers est $90=2\times3^2\times5$.

📖 2. Simplification et multiplication des fractions

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même facteur commun non nul ; on peut rechercher ces facteurs en décomposant les deux termes en facteurs premiers.

📌 Pour multiplier des fractions, on peut simplifier les facteurs communs du numérateur et du dénominateur avant d’effectuer les multiplications.

📐 Formule - Le produit de fractions se calcule par $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ lorsque les dénominateurs sont non nuls.

Compléments

• En divisant le numérateur et le dénominateur de $\frac{12}{28}$ par 4, on obtient $\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$.

• Comme $90=2\times3^2\times5$ et $126=2\times3^2\times7$, on obtient $\frac{90}{126}=\frac{5}{7}$ en simplifiant par 2 puis par 3 deux fois.

• Le carré de $\frac{5}{6}$ vaut $\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}$.

📖 3. Comparaison et somme de fractions

★ À maîtriser

📌 Lorsque deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

📐 Formule - Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur non nul, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{d}\pm\frac{b}{d}=\frac{a\pm b}{d}$.

📌 Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, on les écrit avec un même dénominateur avant de comparer leurs numérateurs.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait leurs numérateurs.

Compléments

• La somme $\frac{5}{9}+\frac{1}{6}$ vaut $\frac{10}{18}+\frac{3}{18}=\frac{13}{18}$.

• On a $\frac{4}{27}>\frac{4}{29}$ car $\frac{1}{27}>\frac{1}{29}$.

📖 4. Division par une fraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : L’inverse d’un nombre non nul est le nombre dont le produit avec lui vaut 1 ; l’inverse de $\frac{a}{b}$, avec $a\neq0$ et $b\neq0$, est $\frac{b}{a}$.

★ À maîtriser

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Compléments

• La division $\frac{7}{6}\div3$ vaut $\frac{7}{6}\times\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$.

• La division $2\div\frac{4}{9}$ vaut $2\times\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$.

📖 5. Notation des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant entier relatif : Pour un entier naturel $n$, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; pour un exposant négatif, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ si $a\neq0$, et $a^0=1$.

📝 Points essentiels

• Dans une puissance $a^n$, $a$ est la base et $n$ est l’exposant.

📌 Une puissance d’exposant 1 vaut sa base, et $a^{-1}=\frac{1}{a}$ pour $a\neq0$.

• On a $10^{-9}=\frac{1}{10^9}=0{,}000000001$.

📌 La puissance $0^{-1}$ n’existe pas, car elle nécessiterait de diviser par zéro.

📖 6. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des puissances de même base, $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ lorsque les expressions sont définies.

📐 Formule - Une puissance de puissance vérifie $\left(a^n\right)^m=a^{nm}$.

📐 Formule - Pour un exposant entier, $\left(ab\right)^n=a^nb^n$.

📐 Formule - Pour un exposant entier, $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ lorsque les expressions sont définies.

Compléments

📌 Il n’existe pas de règle permettant de simplifier directement une somme de puissances.

📖 7. Signe et priorités des puissances

📝 Points essentiels

📌 Les puissances sont prioritaires sur les quatre opérations et sur le passage à l’opposé.

• On a $-3^2=-9$, tandis que $(-3)^2=9$.

📌 Pour un exposant entier pair et une base non nulle, la puissance est positive et $a^n=(-a)^n$.

📌 Pour un exposant entier impair et une base non nulle, la puissance est du signe de la base.

💡 Astuce mémo

−3² donne −9, tandis que (−3)² donne 9