Fiche de révision : Limites de suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies et non-majoration
2. Convergence et suites bornées
3. Limites usuelles des suites
4. Opérations sur les limites
5. Limites de quotients et signes
6. Factorisation par le terme dominant
7. Racines et quantité conjuguée

📖 1. Limites infinies et non-majoration

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Pour tout réel $A$, il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $u_n\ge A$.

★ À maîtriser

📌 Toute suite qui tend vers $+\infty$ n’est pas majorée, mais une suite non majorée ne tend pas nécessairement vers $+\infty$.

Compléments

• La suite définie par $u_n=(1+(-1)^n)n$ n’est pas majorée, mais ne tend pas vers $+\infty$, car un terme sur deux vaut $0$.

💡 Astuce mémo

Non majorée ne signifie pas tend vers +∞ : les termes peuvent revenir sous un seuil.

📖 2. Convergence et suites bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Pour tout $\epsilon>0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $|u_n-l|\le\epsilon$.

★ À maîtriser

📌 Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

Compléments

• Une suite qui admet une limite finie est convergente ; une suite qui n’a pas de limite, ou qui a une limite infinie, est divergente.

• La suite $u_n=(-1)^n$ est bornée entre $-1$ et $1$, mais ne converge pas, car ses termes pairs valent $1$ et ses termes impairs valent $-1$.

• La suite $u_n=\frac{2n+1}{4n+5}$ converge vers $0{,}5$ ; pour $\epsilon=**0{,}001**$, tout entier $**n\ge375**$ vérifie $**0{,}499\le u_n\le0{,}501**$.

💡 Astuce mémo

Les termes finissent dans une bande de plus en plus étroite autour de la limite.

📖 3. Limites usuelles des suites

★ À maîtriser

• Quand $n$ tend vers $+\infty$, les suites $\frac1n$, $\frac1{n^k}$ pour tout entier naturel non nul $k$, et $e^{-n}$ tendent vers $0$.

Compléments

• Les suites $(\cos n)$, $(\sin n)$ et $((-1)^n)$ n’admettent pas de limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Les puissances de n s’éloignent vers +∞, celles de 1/n se rapprochent de 0.

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• La somme de deux suites convergeant respectivement vers $l_1$ et $l_2$ converge vers $l_1+l_2$.

• La somme d’une suite tendant vers $+\infty$ et d’une suite tendant vers $-\infty$ est une forme indéterminée, dont la limite doit être étudiée autrement.

• Le produit d’une suite tendant vers $0$ et d’une suite tendant vers $+\infty$ est une forme indéterminée, et peut avoir des limites différentes selon les suites.

Compléments

📌 La somme d’une suite tendant vers $+\infty$ et d’une suite convergeant vers un réel tend vers $+\infty$.

• Avec $u_n=n$ et $v_n=1-n$, les deux suites tendent respectivement vers $+\infty$ et $-\infty$, mais leur somme vaut constamment $1$.

📌 Le produit de deux suites convergeant vers des réels $l_1$ et $l_2$ converge vers $l_1l_2$.

💡 Astuce mémo

∞ − ∞ et 0 × ∞ sont indéterminées : contrairement aux autres formes calculables, elles n’imposent pas de limite.

📖 5. Limites de quotients et signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite latérale : Une suite qui converge vers $a$ vérifie $u_n\ge a$ à partir d’un certain rang pour avoir pour limite $a^+$, et $u_n\le a$ à partir d’un certain rang pour avoir pour limite $a^-$.

★ À maîtriser

📌 Pour calculer la limite d’un quotient, le dénominateur doit être non nul à partir d’un certain rang ; les règles usuelles s’appliquent lorsque sa limite est non nulle ou infinie, en tenant compte des signes.

Compléments

• La suite $1-\frac1n$ converge vers $1$ par valeurs inférieures, donc sa limite s’écrit $1^-$.

• La suite $\frac{1+2/n}{3+n}$ tend vers $0$, car son numérateur tend vers $1$ et son dénominateur vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

a⁺ approche a par au-dessus, tandis que a⁻ l’approche par en dessous.

📖 6. Factorisation par le terme dominant

★ À maîtriser

• 🔄 Pour lever une forme indéterminée de quotient de polynômes :
  1. Factoriser le numérateur par son terme de plus haut degré.
  2. Factoriser le dénominateur par son terme de plus haut degré.
  3. Calculer la limite du quotient obtenu.

Compléments

• Le quotient $\frac{4n^2+2n+3}{3n^2+7n-1}$ tend vers $\frac43$, après division du numérateur et du dénominateur par $n^2$.

📌 Il faut vérifier qu’une forme indéterminée est réellement présente avant de factoriser par le terme dominant.

💡 Astuce mémo

Factoriser par la plus haute puissance, puis prendre la limite des termes restants.

📖 7. Racines et quantité conjuguée

★ À maîtriser

📌 Si une suite positive tend vers un réel $a\ge0$, alors sa racine carrée tend vers $\sqrt a$ ; si elle tend vers $+\infty$, sa racine carrée tend vers $+\infty$.

📐 Formule - Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$; multiplier par la quantité conjuguée permet ainsi de transformer une différence de racines.

• Pour étudier une différence de racines carrées, on multiplie et divise par la quantité conjuguée afin de simplifier le numérateur.

Compléments

• La suite $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ tend vers $0$, car elle s’écrit $\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$.

💡 Astuce mémo

La quantité conjuguée transforme la différence de racines en différence des radicandes.