QCM : Limites de suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise le fait qu’une suite réelle tende vers +∞+\infty ?

Pour tout réel AA, ses termes vérifient un≥Au_n\ge A à partir d’un certain rang.
Ses termes vérifient un≥Au_n\ge A à partir d’un certain rang pour tout entier AA positif.
Pour tout réel AA, elle possède au moins un terme vérifiant un≥Au_n\ge A.
Il existe un réel AA tel que ses termes vérifient un≥Au_n\ge A à partir d’un certain rang.

Pour tout réel $$A$$, ses termes vérifient $$u_n\ge A$$ à partir d’un certain rang.

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie que tout seuil réel est dépassé ou atteint par tous les termes à partir d’un certain rang. Avoir seulement un terme au-dessus de chaque seuil ne garantit pas ce comportement à partir d’un rang.

2. Une suite réelle est non majorée, mais une infinité de ses termes restent sous un même seuil. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Elle tend vers +∞+\infty, car le fait d’être non majorée suffit à dépasser chaque seuil durablement.
Elle ne tend pas vers +∞+\infty, car cette limite exige que tous les termes soient au-dessus de chaque seuil à partir d’un certain rang.
Elle converge vers une limite finie, car les termes sous un seuil empêchent toute croissance sans borne.
Elle est bornée, car une infinité de termes restent sous un seuil fixe.

Elle ne tend pas vers $$+\infty$$, car cette limite exige que tous les termes soient au-dessus de chaque seuil à partir d’un certain rang.

Explication

Une suite qui tend vers +∞+\infty finit par rester au-dessus de chaque seuil, tandis qu’une suite non majorée peut avoir une infinité de termes sous un seuil donné. Le caractère non majoré ne suffit donc pas à établir une limite infinie.

3. Quelle condition définit la convergence d’une suite réelle vers un réel ll ?

Il existe un ϵ>0\epsilon>0 tel que, à partir d’un rang, ∣un−l∣≤ϵ|u_n-l|\le\epsilon.
Les termes de la suite sont bornés par l−ϵl-\epsilon et l+ϵl+\epsilon dès le premier rang.
Pour tout ϵ>0\epsilon>0, il existe un rang à partir duquel un≥l−ϵu_n\ge l-\epsilon.
Pour tout ϵ>0\epsilon>0, il existe un rang à partir duquel ∣un−l∣≤ϵ|u_n-l|\le\epsilon.

Pour tout $$\epsilon>0$$, il existe un rang à partir duquel $$|u_n-l|\le\epsilon$$.

Explication

La convergence vers ll exige que, pour toute précision positive, tous les termes à partir d’un certain rang soient à distance au plus ϵ\epsilon de ll. La seule existence d’un rayon fixe ne permet pas d’assurer une proximité arbitraire.

4. Une suite est bornée, mais ses termes oscillent entre deux valeurs distinctes sans se rapprocher d’un réel. Quelle affirmation est correcte ?

Elle converge nécessairement, car toute suite bornée possède une limite finie.
Elle converge vers l’une des deux valeurs, puisque ses termes restent dans un intervalle.
Elle peut être bornée sans converger, car le bornage n’implique pas la convergence.
Elle diverge parce qu’elle n’est pas bornée, même si ses termes restent dans un intervalle.

Elle peut être bornée sans converger, car le bornage n’implique pas la convergence.

Explication

Le bornage limite les valeurs prises par la suite, mais n’assure pas que ses termes se rapprochent d’une limite. Contrairement à l’affirmation proposée parmi les distracteurs, une suite bornée ne converge pas nécessairement.

5. Que signifie la propriété selon laquelle 1nk\frac{1}{n^k} tend vers 00 lorsque nn tend vers +∞+\infty, pour tout entier naturel non nul kk ?

Toute suite exponentielle de la forme ene^n a une limite nulle.
Toute puissance positive de nn au dénominateur donne une suite de limite nulle.
Toute suite alternant entre deux valeurs opposées a une limite nulle.
Toute puissance positive de nn au numérateur donne une suite de limite nulle.

Toute puissance positive de $$n$$ au dénominateur donne une suite de limite nulle.

Explication

La limite usuelle affirme que l’inverse de toute puissance non nulle de nn se rapproche de zéro. En revanche, une puissance positive de nn au numérateur tend vers +∞+\infty, et non vers zéro.

6. Si une suite tend vers +∞+\infty et une autre converge vers un réel, vers quelle limite tend leur somme ?

Vers une limite indéterminée
Vers la somme de leurs limites finies
Vers +∞+\infty
Vers −∞-\infty

Vers $$+\infty$$

Explication

Ajouter une suite qui converge vers un réel à une suite tendant vers +∞+\infty ne change pas le comportement dominant : la somme tend vers +∞+\infty. Une forme indéterminée apparaît plutôt pour la somme de suites tendant respectivement vers +∞+\infty et −∞-\infty.

7. Quel rôle joue le signe des termes du dénominateur lorsqu’on calcule la limite d’un quotient de suites ?

Il permet d’appliquer les règles de quotient en vérifiant que le dénominateur est non nul à partir d’un certain rang.
Il permet de conclure que le quotient diverge dès que le dénominateur tend vers zéro.
Il sert à remplacer la limite du quotient par celle du dénominateur seul.
Il détermine la limite du quotient sans qu’il soit nécessaire d’étudier le numérateur.

Il permet d’appliquer les règles de quotient en vérifiant que le dénominateur est non nul à partir d’un certain rang.

Explication

Le dénominateur doit être non nul à partir d’un certain rang, et son signe intervient dans les règles usuelles lorsque sa limite est non nulle ou infinie. Un signe connu ne suffit pas à déterminer la limite sans prendre en compte le numérateur.

8. Pour déterminer la limite d’un quotient de polynômes en factorisant par le terme dominant, quelle distinction faut-il faire entre les degrés du numérateur et du dénominateur ?

Lorsque le degré du numérateur est inférieur, les coefficients dominants déterminent une limite infinie.
Lorsque le degré du dénominateur est inférieur, le quotient tend vers le rapport des coefficients dominants.
Lorsque les degrés sont égaux, les coefficients dominants déterminent la limite finie du quotient.
Lorsque les degrés sont égaux, les termes de degré inférieur déterminent la limite du quotient.

Lorsque les degrés sont égaux, les coefficients dominants déterminent la limite finie du quotient.

Explication

Après division par la plus haute puissance commune, lorsque les degrés sont égaux, les termes de degré inférieur tendent vers zéro et le quotient des coefficients dominants reste. Si le degré du numérateur est inférieur, le quotient tend plutôt vers zéro, et non vers l’infini.

9. Pourquoi multiplier et diviser une différence de racines par sa quantité conjuguée peut-il faciliter l’étude de sa limite ?

Cela transforme la différence de racines en différence des radicandes, souvent plus simple à simplifier.
Cela remplace la différence des radicandes par la somme des racines, sans modifier le dénominateur.
Cela permet de remplacer chaque racine par son radicande dans toute l’expression.
Cela garantit que la différence initiale tend vers zéro, quelle que soit la suite étudiée.

Cela transforme la différence de racines en différence des radicandes, souvent plus simple à simplifier.

Explication

Le produit de la différence et de la somme des racines vaut la différence des radicandes, ce qui permet de simplifier l’expression. Cette transformation ne garantit pas à elle seule que la différence tende vers zéro : il faut ensuite étudier l’expression obtenue.

10. Pour montrer qu’une suite tend vers +∞+\infty, quelle démarche faut-il appliquer à un réel arbitraire AA ?

Trouver un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs ou égaux à AA.
Montrer que les termes dépassent AA pour une infinité de rangs, sans condition sur les rangs suivants.
Trouver un rang à partir duquel au moins un terme est supérieur ou égal à AA.
Montrer que tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à une même constante.

Trouver un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs ou égaux à $$A$$.

Explication

La définition exige que, pour chaque réel AA, il existe un rang à partir duquel tous les termes vérifient un≥Au_n\ge A. Avoir seulement des termes qui dépassent AA à une infinité de rangs ne suffit pas, car la suite peut ensuite redescendre sous ce seuil.

11. Quelle propriété générale relie la convergence d’une suite réelle à son caractère borné ?

Une suite convergente est bornée seulement si sa limite est positive.
Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut diverger.
Une suite convergente est bornée à partir d’un rang, mais peut être non bornée avant ce rang.
Toute suite bornée converge, mais une suite convergente peut être non bornée.

Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut diverger.

Explication

Une suite qui converge vers une limite finie est bornée, tandis que le fait d’être bornée ne garantit pas la convergence. Par exemple, la suite alternant entre −1-1 et 11 est bornée, mais ne converge pas.

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Quelle condition définit la limite +infty+infty d’une suite réelle (un)(u_n) ?

Pour tout réel AA, il existe un entier naturel NN tel que, pour tout n≥Nn\ge N, un≥Au_n\ge A.

Quelle condition définit la convergence de la suite réelle (un)(u_n) vers ll ?

Pour tout ϵ>0\epsilon>0, il existe un entier NN tel que, pour tout n≥Nn\ge N, ∣un−l∣≤ϵ|u_n-l|\le\epsilon.

Quelle propriété distingue une suite bornée d’une suite convergente ?

Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut être divergente.

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