Fiche de révision : Fonctions exponentielles de base

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions exponentielles
2. Propriétés algébriques des puissances
3. Sens de variation des exponentielles
4. Taux d’évolution moyen

📖 1. Définition des fonctions exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : Fonction définie pour x ∈ [0 ; +∞[ qui prolonge les valeurs non nulles de la suite u_n = a^n.
• Suite géométrique exponentielle : La suite géométrique de raison a > 0 et de premier terme u_0 = 1 est définie par u_n = a^n pour tout n ∈ N.

★ À maîtriser

📌 Pour étendre la fonction exponentielle aux exposants négatifs, on pose $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ pour a > 0.

Compléments

• Pour a = 2, la fonction exponentielle est f(x) = 2^x et la suite associée est u_n = 2^n.

💡 Astuce mémo

Une suite partant de 1 se prolonge en courbe exponentielle.

📖 2. Propriétés algébriques des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a > 0, les puissances vérifient $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

📐 Formule — Pour a > 0 et x, y ∈ R, le produit de deux puissances de même base vérifie $a^x \times a^y = a^{x+y}$.

📐 Formule — Pour a > 0 et x, y ∈ R, le quotient de deux puissances de même base vérifie $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.

Compléments

📐 Formule — Pour a > 0, x ∈ R et n ∈ Z, une puissance d’une puissance vérifie $(a^x)^n = a^{x\cdot n}$.

💡 Astuce mémo

Produit = addition des exposants ; quotient = soustraction.

📖 3. Sens de variation des exponentielles

★ À maîtriser

📌 Pour f(x) = k a^x avec a > 0 et k ∈ R, si 0 < a < 1 et k > 0, alors f est strictement décroissante sur R, tandis que si a > 1 et k > 0, elle est strictement croissante sur R.

• Pour tout a > 0, la courbe représentative de f(x) = a^x passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et la fonction est strictement positive sur R.

Compléments

📌 Si a = 1, la fonction f(x) = k a^x est constante sur R.

💡 Astuce mémo

Base entre 0 et 1 : décroissance ; base supérieure à 1 : croissance.

📖 4. Taux d’évolution moyen

★ À maîtriser

• Si x^n = a, alors x = a^{1/n}, appelé racine n-ième de a et pouvant se noter ⁿ√a.

📐 Formule — Le taux moyen d’évolution t sur n évolutions vérifie $t = 100 \times (CM^{1/n} - 1)$, où CM est le coefficient multiplicateur global.

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur global sur n évolutions vérifie $CM = \left(1 + \frac{t}{100}\right)^n$.

Compléments

• Pour une augmentation de 25 % du prix du gaz entre 2012 et 2015, le coefficient multiplicateur global est CM = 1,25 et le taux d’évolution moyen annuel est t = 100 × (1,25^{1/3} - 1) ≈ 7,72 %.

💡 Astuce mémo

Coefficient global → racine n-ième → taux moyen.