Fiche de révision : Fonctions polynômes de degré 3

📋 Plan du Cours

1. Expression et dérivée du polynôme
2. Zéros et signe de la dérivée
3. Variations et extremums locaux
4. Solutions de l’équation f(x) = k

📖 1. Expression et dérivée du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de degré 3 : Un polynôme de degré 3 s’écrit $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, avec quatre coefficients a, b, c et d, et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, la dérivée est $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.

Compléments

• Si $f(x)=8x^3-3x^2+2x-5$, alors $f'(x)=24x^2-6x+2$.

📐 Formule - La dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ est $f'(x)=3x^2$.

📖 2. Zéros et signe de la dérivée

★ À maîtriser

• Les solutions de $f'(x)=0$ se déterminent en repérant les intersections de la courbe de $f'$ avec l’axe des abscisses ou à l’aide du solveur de la calculatrice.

• Lorsque $f'$ a deux zéros $x_1<x_2$, son signe est celui de a à l’extérieur de l’intervalle entre ces zéros et le signe opposé à celui de a entre eux.

Compléments

• L’équation $f'(x)=0$ peut avoir zéro, une solution notée $x_0$, ou deux solutions notées $x_1$ et $x_2$.

• Dans les cas présentés au cours, $f'(x)$ est du même signe que a, ou du même signe que a et s’annule en $x_0$.

📖 3. Variations et extremums locaux

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle I, si $f'(x)>0$, alors f est croissante sur I.

📌 Sur un intervalle I, si $f'(x)<0$, alors f est décroissante sur I.

Compléments

📌 Sur un intervalle I, si $f'(x)=0$, alors f est constante sur I.

• Dans le tableau de variations donné, f(b) est un minimum local sur $]a;c[$ et f(c) est un maximum local sur $]b;d[$.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : f monte ; dérivée négative : f descend.

📖 4. Solutions de l’équation f(x) = k

📝 Points essentiels

• Pour compter les solutions de $f(x)=k$, examiner chaque intervalle de monotonie : comparer k aux valeurs minimale et maximale de f sur l’intervalle, retenir une solution si k est entre ces valeurs, puis compter les solutions obtenues sur tous les intervalles.

💡 Astuce mémo

Monotonie → valeurs extrêmes → comparaison à k → comptage.