Fonctions polynômes de degré 3

📋 Plan du Cours

1. Expression et dérivée du polynôme
2. Zéros et signe de la dérivée
3. Variations et extremums locaux
4. Solutions de l’équation f(x) = k

📖 1. Expression et dérivée du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de degré 3 : Un polynôme de degré 3 s’écrit $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, avec quatre coefficients a, b, c et d, et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, la dérivée est $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.

Compléments

• Si $f(x)=8x^3-3x^2+2x-5$, alors $f'(x)=24x^2-6x+2$.

📐 Formule - La dérivée de la fonction cube $f(x)=x^3$ est $f'(x)=3x^2$.

📖 2. Zéros et signe de la dérivée

★ À maîtriser

• Les solutions de $f'(x)=0$ se déterminent en repérant les intersections de la courbe de $f'$ avec l’axe des abscisses ou à l’aide du solveur de la calculatrice.

• Lorsque $f'$ a deux zéros $x_1<x_2$, son signe est celui de a à l’extérieur de l’intervalle entre ces zéros et le signe opposé à celui de a entre eux.

Compléments

• L’équation $f'(x)=0$ peut avoir zéro, une solution notée $x_0$, ou deux solutions notées $x_1$ et $x_2$.

• Dans les cas présentés au cours, $f'(x)$ est du même signe que a, ou du même signe que a et s’annule en $x_0$.

📖 3. Variations et extremums locaux