QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (8 questions)

Question 1

1. Quelle forme générale peut prendre un polynôme de degré 3 ?

f(x)=ax^3+bx+d

, avec trois coefficients et

a\ne0

f(x)=ax^4+bx^2+cx+d

, avec quatre coefficients et

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

, avec trois coefficients et

a\ne0

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

, avec quatre coefficients et

a\ne0

Explication

Un polynôme de degré 3 comporte des termes jusqu’à $x^3$ , avec la forme générale $ax^3+bx^2+cx+d$ et un coefficient $a$ non nul. L’expression de degré 2 proposée ne comporte pas de terme en $x^3$ .

Answer

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$, avec quatre coefficients et $$a\ne0$$

Question 2

2. Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , quelle expression donne $f'(x)$ ?

3ax^2+2bx+c+d

3ax^2+2bx+c

3ax^3+2bx^2+c

ax^2+bx+c

Explication

La dérivation donne $3ax^2$ à partir du terme cubique, $2bx$ à partir du terme quadratique, et $c$ à partir du terme linéaire. La constante $d$ a pour dérivée zéro, elle ne figure donc pas dans l’expression proposée avec elle.

Answer

$$3ax^2+2bx+c$$

Question 3

3. Comment peut-on déterminer les solutions de $f'(x)=0$ à partir de la courbe de $f'$ ?

En repérant les sommets de la courbe de

f'

En cherchant les intersections de la courbe de

f

avec l’axe des abscisses

En repérant ses intersections avec l’axe des abscisses

En repérant ses intersections avec l’axe des ordonnées

Explication

Les solutions de $f'(x)=0$ correspondent aux abscisses où la courbe de $f'$ coupe ou touche l’axe des abscisses. Les intersections avec l’axe des ordonnées indiquent plutôt la valeur de $f'(0)$ .

Answer

En repérant ses intersections avec l’axe des abscisses

Question 4

4. Si $f'$ a deux zéros $x_1<x_2$ , comment se répartit son signe par rapport au coefficient $a$ ?

Il est celui de

a

sur tout l’axe réel, sauf aux deux zéros

Il est opposé à celui de

a

à l’extérieur de

[x_1;x_2]

et identique à celui de

a

entre les deux zéros

Il est celui de

a

à l’extérieur de

[x_1;x_2]

et opposé à celui de

a

entre les deux zéros

Il est opposé à celui de

a

sur tout l’axe réel, sauf aux deux zéros

Explication

Avec deux zéros, le signe de $f'$ correspond à celui de $a$ à l’extérieur de l’intervalle délimité par ces zéros et lui est opposé entre eux. L’inversion des signes entre l’extérieur et l’intérieur contredit cette répartition.

Answer

Il est celui de $$a$$ à l’extérieur de $$[x_1;x_2]$$ et opposé à celui de $$a$$ entre les deux zéros

Question 5

5. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure si $f'(x)>0$ ?

f

est constante sur

I

f

est décroissante sur

I

f

est croissante sur

I

f

atteint nécessairement un maximum local sur

I

Explication

Une dérivée strictement positive sur un intervalle implique que la fonction y est croissante. Une dérivée positive ne signifie pas que la fonction est constante, contrairement à l’une des autres interprétations proposées.

Answer

$$f$$ est croissante sur $$I$$

Question 6

6. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ découle de la condition $f'(x)<0$ ?

f

est décroissante sur

I

f

est constante sur

I

f

atteint nécessairement un minimum local sur

I

f

est croissante sur

I

Explication

Lorsque la dérivée est négative sur un intervalle, la fonction y est décroissante. Une dérivée négative n’implique pas à elle seule l’existence d’un minimum local sur cet intervalle.

Answer

$$f$$ est décroissante sur $$I$$

Question 7

7. Sur un intervalle où $f$ est monotone, quelle méthode permet de déterminer si l’équation $f(x)=k$ y possède une solution ?

Comparer les valeurs de

f

aux bornes de l’intervalle, puis retenir une solution si elles ont le même signe.

Comparer

k

aux valeurs minimale et maximale de

f

sur cet intervalle, puis retenir une solution si

k

est compris entre elles.

Comparer

k

à la valeur moyenne de

f

sur cet intervalle, puis retenir une solution s’il lui est inférieur.

Compter les changements de signe de

f

sur l’intervalle, puis retenir une solution pour chaque changement.

Explication

Sur un intervalle de monotonie, on vérifie si $k$ se situe entre les valeurs minimale et maximale de $f$ pour savoir si une solution y est obtenue. Le comptage des changements de signe de $f$ ne constitue pas le critère général demandé pour l’équation $f(x)=k$ .

Answer

Comparer $$k$$ aux valeurs minimale et maximale de $$f$$ sur cet intervalle, puis retenir une solution si $$k$$ est compris entre elles.

Question 8

8. Une fonction est monotone sur chacun de trois intervalles, et la valeur $k$ est comprise entre ses valeurs minimale et maximale sur les premier et troisième intervalles, mais pas sur le deuxième. Combien de solutions de $f(x)=k$ faut-il compter sur ces intervalles ?

Deux solutions, une sur chacun des intervalles où

k

est compris entre les valeurs extrêmes de

f

.

Aucune solution, car

k

doit être compris entre les valeurs extrêmes sur tous les intervalles.

Une solution, car les intervalles concernés doivent être adjacents pour être comptés séparément.

Trois solutions, car chaque intervalle de monotonie fournit une solution à l’équation.

Explication

On examine chaque intervalle de monotonie séparément et on compte une solution lorsque $k$ se trouve entre les valeurs minimale et maximale de $f$ sur cet intervalle. Le fait que les intervalles retenus ne soient pas adjacents n’empêche pas de compter leurs solutions séparément.

Answer

Deux solutions, une sur chacun des intervalles où $$k$$ est compris entre les valeurs extrêmes de $$f$$.

QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale peut prendre un polynôme de degré 3 ?

2. Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , quelle expression donne $f'(x)$ ?

3. Comment peut-on déterminer les solutions de $f'(x)=0$ à partir de la courbe de $f'$ ?

4. Si $f'$ a deux zéros $x_1<x_2$ , comment se répartit son signe par rapport au coefficient $a$ ?

5. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure si $f'(x)>0$ ?

6. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ découle de la condition $f'(x)<0$ ?

7. Sur un intervalle où $f$ est monotone, quelle méthode permet de déterminer si l’équation $f(x)=k$ y possède une solution ?

8. Une fonction est monotone sur chacun de trois intervalles, et la valeur $k$ est comprise entre ses valeurs minimale et maximale sur les premier et troisième intervalles, mais pas sur le deuxième. Combien de solutions de $f(x)=k$ faut-il compter sur ces intervalles ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale peut prendre un polynôme de degré 3 ?

2. Pour f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d, quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

3. Comment peut-on déterminer les solutions de f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 à partir de la courbe de f′f'f′ ?

4. Si f′f'f′ a deux zéros x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, comment se répartit son signe par rapport au coefficient aaa ?

5. Sur un intervalle III, quelle variation de fff peut-on conclure si f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 ?

6. Sur un intervalle III, quelle variation de fff découle de la condition f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 ?

7. Sur un intervalle où fff est monotone, quelle méthode permet de déterminer si l’équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k y possède une solution ?

8. Une fonction est monotone sur chacun de trois intervalles, et la valeur kkk est comprise entre ses valeurs minimale et maximale sur les premier et troisième intervalles, mais pas sur le deuxième. Combien de solutions de f(x)=kf(x)=kf(x)=k faut-il compter sur ces intervalles ?

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2. Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , quelle expression donne $f'(x)$ ?

3. Comment peut-on déterminer les solutions de $f'(x)=0$ à partir de la courbe de $f'$ ?

4. Si $f'$ a deux zéros $x_1<x_2$ , comment se répartit son signe par rapport au coefficient $a$ ?

5. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ peut-on conclure si $f'(x)>0$ ?

6. Sur un intervalle $I$ , quelle variation de $f$ découle de la condition $f'(x)<0$ ?

7. Sur un intervalle où $f$ est monotone, quelle méthode permet de déterminer si l’équation $f(x)=k$ y possède une solution ?

8. Une fonction est monotone sur chacun de trois intervalles, et la valeur $k$ est comprise entre ses valeurs minimale et maximale sur les premier et troisième intervalles, mais pas sur le deuxième. Combien de solutions de $f(x)=k$ faut-il compter sur ces intervalles ?