Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et parabole
4. Équation et discriminant
5. Factorisation du trinôme
6. Signe et inéquations

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et où a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée d’un trinôme est $ax^2+bx+c$, tandis que l’expression factorisée ou canonique peut présenter une autre écriture de la même fonction.

• Les fonctions $3x^2-7x+3$, $\frac{1}{2}x^2-5x+\frac{3}{5}$, $4-2x^2$ et $(x-4)(5-2x)$ sont des fonctions polynômes du second degré, alors que $5x-3$ est de degré 1 et $5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4.

💡 Astuce mémo

Le degré 2 se reconnaît au terme ax² avec a ≠ 0, contrairement aux degrés 1 et 4.

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique s’obtient en recherchant une écriture de la forme $2(x-\alpha)^2+\beta$.

💡 Astuce mémo

Développée → α = −b/2a → β = f(α) → forme canonique.

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal est une parabole.

📝 Points essentiels

📌 Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec a > 0, alors f est strictement décroissante sur ]−∞ ; α] puis strictement croissante sur [α ; +∞[, et admet un minimum égal à β pour x = α.

• Le sommet de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ est le point $M\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, et son axe de symétrie est la droite $x=-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum et parabole vers le haut ; a < 0 : maximum et parabole vers le bas.

📖 4. Équation et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels avec a ≠ 0, dont une solution est une racine du trinôme.
• Discriminant : Nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si Δ < 0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle ; si Δ = 0, elle possède l’unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ > 0, elle possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — Pour les racines d’un trinôme $ax^2+bx+c=0$, la somme vaut $S=-\frac{b}{a}$ et le produit vaut $P=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → déterminer le nombre de racines → appliquer la formule adaptée.

📖 5. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si Δ = 0 alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ pour tout réel x ; si Δ > 0 alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si Δ < 0, f ne se factorise pas sur ℝ.

Compléments

• Le trinôme $9x^2-6x+1$ se factorise sous la forme d’un carré, car il correspond au cas Δ = 0.

💡 Astuce mémo

Δ = 0 donne un carré ; Δ > 0 donne deux facteurs ; Δ < 0 empêche la factorisation réelle.

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Si Δ < 0, le trinôme garde un signe constant sur ℝ : il est positif si a > 0 et négatif si a < 0.

• Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s’annule uniquement en x₀.

• Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines x₁ et x₂ et du signe opposé à a entre x₁ et x₂.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule le discriminant, on détermine les racines lorsqu’elles existent, on établit le signe du trinôme puis on retient les intervalles satisfaisant l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Le signe de a et la position des racines déterminent le signe du trinôme, donc les solutions de l’inéquation.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant