Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et parabole
4. Équation et discriminant
5. Factorisation du trinôme
6. Signe et inéquations

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et où a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée d’un trinôme est $ax^2+bx+c$, tandis que l’expression factorisée ou canonique peut présenter une autre écriture de la même fonction.

• Les fonctions $3x^2-7x+3$, $\frac{1}{2}x^2-5x+\frac{3}{5}$, $4-2x^2$ et $(x-4)(5-2x)$ sont des fonctions polynômes du second degré, alors que $5x-3$ est de degré 1 et $5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4.

💡 Astuce mémo

Le degré 2 se reconnaît au terme ax² avec a ≠ 0, contrairement aux degrés 1 et 4.

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique s’obtient en recherchant une écriture de la forme $2(x-\alpha)^2+\beta$.