QCM : Fonctions polynômes du second degré — 9 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=3x^2-7x+3

f(x)=5x-3

f(x)=\frac{4}{x}+1

f(x)=5x^4-7x^3+3x-8

Explication

Une fonction du second degré possède un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul, comme dans $3x^2-7x+3$ . L’expression $5x-3$ est affine, tandis que les deux autres ne sont pas des polynômes du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-7x+3$$

Question 2

2. Quelle est la forme générale d’un trinôme du second degré ?

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e, où a, b, c, d, e sont réels et a ≠ 0

f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, c sont réels et a ≠ 0

f(x) = a x + b, où a et b sont réels

f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d, où a, b, c, d sont réels et a ≠ 0

Explication

La forme développée d’un trinôme du second degré est $ax^2 + bx + c$ , avec $a \neq 0$ . La première option correspond à cette définition, contrairement aux autres qui décrivent d’autres types de fonctions polynomiales.

Answer

f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, c sont réels et a ≠ 0

Question 3

3. Quelle écriture correspond à la forme développée d’un trinôme du second degré ?

\frac{a}{x^2}+bx+c

a(x-\alpha)^2+\beta

(x-r)(ux+v)

ax^2+bx+c

Explication

La forme développée d’un trinôme s’écrit $ax^2+bx+c$ , avec $a\neq 0$ . L’écriture $a(x-\alpha)^2+\beta$ est une forme canonique, tandis que $(x-r)(ux+v)$ est une forme factorisée.

Answer

$$ax^2+bx+c$$

Question 4

4. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d’une fonction polynôme du second degré ?

Elle facilite la résolution de l’équation en trouvant directement ses racines.

Elle indique si la parabole est orientée vers le haut ou vers le bas, sans autre information.

Elle permet de déterminer le sommet de la parabole et de connaître la valeur minimale ou maximale de la fonction.

Elle sert uniquement à simplifier l’écriture de la fonction sans autre utilité.

Explication

La forme canonique permet d’identifier facilement le sommet de la parabole, qui correspond à la valeur minimale ou maximale de la fonction selon le signe de $a$ . La résolution directe des racines se fait généralement à partir de la forme factorisée ou du discriminant, pas uniquement de la forme canonique.

Answer

Elle permet de déterminer le sommet de la parabole et de connaître la valeur minimale ou maximale de la fonction.

Question 5

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle formule donne l’abscisse du sommet dans la forme canonique ?

\alpha=-\frac{b}{2a}

\alpha=\frac{b}{2a}

\alpha=f\left(-\frac{b}{2a}\right)

\alpha=-\frac{c}{2a}

Explication

Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ . La valeur $f(\alpha)$ correspond à l’ordonnée du sommet, notée $\beta$ , et non à son abscisse.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$

Question 6

6. Quand le discriminant $\triangle$ d’un trinôme du second degré est-il nul, et quelle est la conséquence sur ses racines ?

Lorsque

\triangle=0

, le trinôme n’a pas de racines réelles et ne possède qu’une seule solution imaginaire.

Lorsque

\triangle=0

, le trinôme possède une racine double et peut s’écrire sous la forme

a(x-x_0)^2

.

Lorsque

\triangle<0

, le trinôme a deux racines réelles distinctes et se factorise en deux facteurs linéaires.

Lorsque

\triangle>0

, le trinôme n’a pas de racines réelles et ne peut pas être factorisé sur

bR

.

Explication

Lorsque le discriminant $\triangle$ est nul, le trinôme possède une racine double, ce qui permet de l’écrire sous la forme $a(x-x_0)^2$ . Si $\triangle$ était positif, il aurait deux racines réelles distinctes, et si négatif, aucune racine réelle.

Answer

Lorsque $$\triangle=0$$, le trinôme possède une racine double et peut s’écrire sous la forme $$a(x-x_0)^2$$.

Question 7

7. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?

2(x-5)^2+10

2(x-5)^2-40

2(x+5)^2-40

2(x-10)^2+10

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{-20}{2\times2}=5$ , puis $\beta=f(5)=-40$ , donc la forme canonique est $2(x-5)^2-40$ . L’expression $2(x-5)^2+10$ conserve le mauvais terme constant après le développement.

Answer

$$2(x-5)^2-40$$

Question 8

8. En quoi la factorisation d’un trinôme du second degré diffère-t-elle de sa forme canonique ?

La factorisation ne concerne que les trinômes avec Δ = 0, alors que la forme canonique est valable pour tous les degrés.

La factorisation concerne uniquement les trinômes avec Δ > 0, alors que la forme canonique s’applique à tous les trinômes.

La factorisation exprime le trinôme en produits de facteurs linéaires, tandis que la forme canonique met en évidence le sommet de la parabole.

La factorisation donne une expression simplifiée pour le calcul des racines, alors que la forme canonique ne permet pas cette opération.

Explication

La factorisation d’un trinôme du second degré le présente sous forme de produits de facteurs linéaires, ce qui facilite la résolution d’équations. La forme canonique, quant à elle, met en avant le sommet de la parabole, sans nécessairement donner une factorisation immédiate.

Answer

La factorisation exprime le trinôme en produits de facteurs linéaires, tandis que la forme canonique met en évidence le sommet de la parabole.

Question 9

9. Qui est crédité de la formule permettant d’écrire toute fonction polynôme du second degré sous sa forme canonique ?

Alfred Binet

Carl Friedrich Gauss

Isaac Newton

Joseph-Louis Lagrange

Explication

C'est Carl Friedrich Gauss qui a développé la formule permettant de transformer un trinôme en sa forme canonique. Cette formule facilite l'identification du sommet de la parabole associée.

Answer

Isaac Newton

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Quelle est la forme générale d’un trinôme du second degré ?

3. Quelle écriture correspond à la forme développée d’un trinôme du second degré ?

4. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d’une fonction polynôme du second degré ?

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle formule donne l’abscisse du sommet dans la forme canonique ?

6. Quand le discriminant $\triangle$ d’un trinôme du second degré est-il nul, et quelle est la conséquence sur ses racines ?

7. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?

8. En quoi la factorisation d’un trinôme du second degré diffère-t-elle de sa forme canonique ?

9. Qui est crédité de la formule permettant d’écrire toute fonction polynôme du second degré sous sa forme canonique ?

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Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Quelle est la forme générale d’un trinôme du second degré ?

3. Quelle écriture correspond à la forme développée d’un trinôme du second degré ?

4. Quel est le rôle principal de la forme canonique f(x)=a(x−−b2a)2+βf(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\betaf(x)=a(x−−2ab​)2+β d’une fonction polynôme du second degré ?

5. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle formule donne l’abscisse du sommet dans la forme canonique ?

6. Quand le discriminant △\triangle△ d’un trinôme du second degré est-il nul, et quelle est la conséquence sur ses racines ?

7. Quelle est la forme canonique de la fonction f(x)=2x2−20x+10f(x)=2x^2-20x+10f(x)=2x2−20x+10 ?

8. En quoi la factorisation d’un trinôme du second degré diffère-t-elle de sa forme canonique ?

9. Qui est crédité de la formule permettant d’écrire toute fonction polynôme du second degré sous sa forme canonique ?

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4. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d’une fonction polynôme du second degré ?

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle formule donne l’abscisse du sommet dans la forme canonique ?

6. Quand le discriminant $\triangle$ d’un trinôme du second degré est-il nul, et quelle est la conséquence sur ses racines ?

7. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ ?