Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation graphique
2. Racines et interprétation graphique
3. Forme factorisée selon les racines
4. Détermination par calculatrice

📖 1. Définition et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et où $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Si a > 0, les bras de la parabole sont tournés vers le haut, tandis que si a < 0, ils sont tournés vers le bas.

• La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole.

Compléments

• Le coefficient c modifie la position verticale du sommet de la parabole et produit une translation de la courbe initiale.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : parabole vers le bas

📖 2. Racines et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : Solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles la fonction est égale à 0.

★ À maîtriser

• Graphiquement, une racine correspond au point où la courbe de la fonction coupe l’axe des abscisses.

• Un polynôme du second degré peut avoir zéro, une ou deux racines.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2+2x-3$, les racines sont -3 et 1 car $f(-3)=0$ et $f(1)=0$, tandis que 5 n’est pas une racine car $f(5)=32\ne0$.

💡 Astuce mémo

Les racines sont les points où la parabole rencontre l’axe des abscisses

📖 3. Forme factorisée selon les racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines x₁ et x₂, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

📐 Formule — Si un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ admet une seule racine x₀, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x₀)^2$.

• Pour factoriser $f(x)=3x^2-9x+6$, on identifie d’abord a=3, puis on vérifie que 1 est une racine et on trouve l’autre racine 2, ce qui donne $f(x)=3(x-2)(x-1)$.

Compléments

• Le polynôme $f(x)=x^2+2x-3$, dont les racines sont -3 et 1, s’écrit sous la forme factorisée $f(x)=(x+3)(x-1)$.

• Le polynôme $g(x)=3x^2-6x+3$, qui admet l’unique racine 1, s’écrit sous la forme factorisée $g(x)=3(x-1)^2$.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine donne un carré

📖 4. Détermination par calculatrice

📝 Points essentiels

• 🔄 La résolution sur calculatrice Casio suit quatre étapes:

  1. Ouvrir MENU EQUA
  2. Sélectionner Polynomiale
  3. Choisir le degré 2
  4. Compléter a, b et c

• 🔄 La résolution sur calculatrice Texas Instruments suit cinq étapes:

  1. Ouvrir Résol
  2. Sélectionner PlySmlt2
  3. Choisir Racines d’un polynôme
  4. Sélectionner le degré 2
  5. Compléter a, b et c

• Pour résoudre un polynôme du second degré avec une calculatrice NumWorks, il faut ouvrir le menu Equation, écrire l’équation à résoudre, puis la résoudre.

📊 Tableaux de synthèse

Forme factorisée selon le nombre de racines