Fiche de révision : Triangles rectangles et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Réciproque et contraposée
3. Vocabulaire des triangles rectangles
4. Rapports trigonométriques
5. Calculs de longueurs et d’angles
6. Propriétés trigonométriques

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un triangle rectangle dont l’hypoténuse est DE, la relation de Pythagore est $DE^2=FD^2+EF^2$.

Compléments

• Si DF=4 cm et EF=3 cm, alors $DE^2=4^2+3^2=25$ et donc DE=5 cm.

💡 Astuce mémo

Triangle rectangle → hypoténuse² = côté² + côté²

📖 2. Réciproque et contraposée

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Pour un triangle tel que AB=20 cm, BC=21 cm et AC=29 cm, on a $AC^2=AB^2+BC^2$, donc le triangle ABC est rectangle en B.

• Pour un triangle tel que AB=27 cm, BC=45 cm et AC=53 cm, on obtient $AB^2+BC^2=2754$ et $AC^2=2809$, donc le triangle n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Égalité vérifiée → rectangle ; égalité non vérifiée → non rectangle

📖 3. Vocabulaire des triangles rectangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle qui possède un angle droit.
• Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus grand côté du triangle.

📝 Points essentiels

📌 Par rapport à un angle donné, le côté opposé est en face de l’angle, tandis que le côté adjacent touche cet angle sans être l’hypoténuse.

💡 Astuce mémo

Depuis l’angle : le côté opposé est en face, l’adjacent le touche, l’hypoténuse fait face à l’angle droit

📖 4. Rapports trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
• Sinus : Quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
• Tangente : Quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent

📖 5. Calculs de longueurs et d’angles

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur, on identifie les côtés par rapport à l’angle donné, on choisit la relation trigonométrique adaptée aux données et à la longueur recherchée, puis on utilise un produit en croix et la calculatrice.

• Pour calculer un angle, on exprime d’abord un rapport trigonométrique à partir des longueurs connues, puis on utilise la fonction réciproque correspondante de la calculatrice, comme arccos pour le cosinus.

Compléments

• Dans le triangle DEF rectangle en E, avec DE=5 cm, EF=12 cm et DF=13 cm, on a $\cos(\widehat{EDF})=\frac{DE}{DF}=\frac{5}{13}$ et $\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\approx67{,}38\degree$.

💡 Astuce mémo

Nommer les côtés → choisir le rapport → calculer avec la calculatrice

📖 6. Propriétés trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout angle aigu A, la tangente vérifie $\tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}$.

📐 Formule — Pour tout angle aigu A, on a $\cos^2(A)+\sin^2(A)=1$.

Compléments

📌 Pour tout angle aigu A, on a $0<\cos(A)<1$ et $0<\sin(A)<1$.

📊 Tableaux de synthèse

Rapports trigonométriques