QCM : Fonctions polynômes du second degré — 35 questions

Explication

La distributivité simple consiste à multiplier un facteur extérieur par chaque terme d’une parenthèse, ce qui donne $k(a+b)=ka+kb$. L’égalité avec deux parenthèses relève de la double distributivité, tandis que les autres expressions correspondent à d’autres développements.

Explication

La double distributivité impose de multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, d’où $ac+ad+bc+bd$. L’expression $ac+bd$ oublie les deux produits croisés.

Explication

Le carré d’une différence se développe selon $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Le signe du terme central est négatif, contrairement au carré d’une somme, et $a^2-b^2$ correspond à un produit de somme par différence.

Explication

Une fonction polynôme est une somme de puissances entières naturelles de $x$ multipliées par des coefficients réels, comme $3x^4-2x^2+x-7$. Une racine, une division par $x$ ou une puissance variable ne respecte pas cette forme polynomiale.

Explication

Le degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul ; ici, le terme de plus haut degré est $4x^5$. Le nombre 7 est le terme constant et ne détermine donc pas le degré.

Explication

Le coefficient du terme en $x^2$ doit être non nul, donc $a\ne0$, afin que le degré soit réellement égal à 2. Les valeurs de $b$ et $c$ peuvent être nulles sans modifier cette condition.

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ et met en évidence les paramètres du sommet. L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée, tandis que le produit de deux facteurs est une forme factorisée lorsqu’il existe.

Explication

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle le polynôme s’annule, c’est-à-dire une solution de $f(x)=0$. Le sommet, le coefficient dominant et l’axe de symétrie sont des éléments différents de l’étude de la parabole.

Explication

Deux racines distinctes correspondent à deux facteurs différents, ce qui donne $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Un carré d’un facteur représente plutôt une racine double, et les signes des autres expressions ne garantissent pas les racines indiquées.

Explication

Les relations de Viète donnent la somme $x_1+x_2=-\frac ba$ et le produit $x_1x_2=\frac ca$. La confusion fréquente consiste à intervertir les expressions de la somme et du produit.

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$ et $\beta=f(2)=-5$, donc le sommet est $S(2;-5)$. La confusion classique consiste à intervertir les signes ou les rôles de $\alpha$ et $\beta$.

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $-\frac{\Delta}{4a}$ intervient ensuite dans la forme canonique pour déterminer l’ordonnée du sommet.

Explication

Lorsque $a>0$, la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à $\alpha$, puis croît, ce qui crée un minimum. Le comportement croissant puis décroissant correspond au cas $a<0$.

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$, qui passe par le sommet. La valeur $\beta$ représente l’ordonnée du sommet et ne donne donc pas l’équation de cet axe.

Explication

La méthode commence par le calcul de $\Delta=b^2-4ac$, puis le signe de ce nombre indique le nombre de solutions réelles. La valeur précise des solutions se calcule ensuite avec les coefficients, et non avec la seule position du sommet.

Explication

Ici, $\Delta=1-32=-31<0$, donc l’équation n’a pas de racine réelle et le trinôme ne se factorise pas sur $\mathbb{R}$. Une racine double correspond au cas $\Delta=0$, pas au cas d’un discriminant négatif.

Explication

Le discriminant vaut $36-36=0$, donc l’unique solution est $x_0=-\frac{-6}{2}=3$ et $f(x)=(x-3)^2$. Le cas $\Delta=0$ donne une racine réelle double, et non deux racines distinctes.

Explication

On a $\Delta=25-24=1$, donc les formules donnent $x_1=\frac{5-1}{2}=2$ et $x_2=\frac{5+1}{2}=3$. Les racines permettent alors d’écrire le trinôme sous la forme $(x-2)(x-3)$.

Explication

Le trinôme possède une racine double en $x_0=2$ et son coefficient dominant est négatif : il est donc négatif partout sauf en cette racine, où il s’annule. Une racine double ne provoque pas de changement de signe.

Explication

Quand $a>0$, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles, sur $]x_1;x_2[$. Aux racines, il vaut zéro, ce qui exclut ces points des intervalles de signe strict.

Explication

À l’extérieur des deux racines, le trinôme prend le signe de son coefficient dominant, donc il est négatif lorsque $a<0$. Entre les racines, son signe est opposé à celui de $a$ et devient donc positif.

Explication

On obtient les racines $2$ et $3$, puis le tableau de signes montre que le trinôme est positif ou nul sur $]-\infty;2]\cup[3;+\infty[$. La seule connaissance du sommet ou des coefficients ne suffit pas à construire l’ensemble solution.

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$, puis $\beta=f(2)=-3$. La forme canonique permet ainsi de repérer le sommet, tandis que la forme factorisée sert directement à identifier les racines.

Explication

Dans la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ ; ici, $x+4=x-(-4)$. Le point $( -4,7 )$ est le sommet, mais il ne constitue pas une droite.

Explication

Lorsque $a<0$, la parabole s’ouvre vers le bas et sa valeur au sommet est un maximum. Une parabole tournée vers le haut correspond au cas $a>0$ et possède un minimum.

Explication

Une translation horizontale de vecteur $(5,0)$ transforme la courbe de $f$ en celle de $g(x)=f(x-5)$. L’expression $f(x+5)$ correspondrait à un déplacement de 5 unités vers la gauche.

Explication

Le discriminant se calcule avec $\Delta=b^2-4ac$ ; ici, $\Delta=(-4)^2-4\times3\times(-2)=40$. Il s’agit d’une valeur calculée à partir des coefficients, et non d’une solution de l’équation.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation du second degré n’a aucune solution réelle. Une solution double correspond au cas $\Delta=0$, tandis que deux solutions réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$.

Explication

On obtient $\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=25$, puis $x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$ et $x_2=\frac{3+5}{4}=2$. Les expressions des solutions doivent conserver le dénominateur $2a$ et associer correctement les signes.

Explication

La largeur du fond restant après avoir relevé les deux côtés est $14-2x$, tandis que la longueur vaut 600 cm et la hauteur $x$. Le volume est donc le produit de ces trois dimensions.

Explication

Le développement donne $V(x)=-1200x^2+8400x$, dont la mise sous forme canonique conduit à $-1200(x-3,5)^2+14\,700$. Le signe négatif devant le carré indique que le volume atteint un maximum au sommet.

Explication

La forme canonique du volume a son sommet pour $x=3,5$ et la valeur maximale correspondante est $14\,700$ cm³. Il faut distinguer la valeur de la variable, exprimée en centimètres, de celle du volume, exprimée en centimètres cubes.

Explication

Comme le coefficient du carré est négatif, le sommet fournit la valeur maximale du bénéfice, soit $13\,322,5$ €. Le nombre 385 représente l’abscisse du sommet, c’est-à-dire la quantité produite associée à ce bénéfice.

Explication

La substitution $X=x^2$ transforme l’équation en $X^2-5X+4=0$, puis seules les valeurs $X\geq 0$ peuvent correspondre à un carré réel avant de revenir à $x$. La deuxième démarche inverse à la fois le signe du terme linéaire et la condition admissible sur $X$.

Explication

Le coefficient dominant de $h$ est positif, donc la parabole est tournée vers le haut : elle admet un minimum et ses valeurs ne sont pas majorées sur $\mathbb{R}$. L’idée d’un maximum correspondrait au cas d’un coefficient dominant négatif.