Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Origines et prérequis algébriques
2. Définition et formes d’un polynôme
3. Racines et forme factorisée
4. Forme canonique et parabole
5. Résolution par le discriminant
6. Signe et inéquations
7. Formes et transformations paraboliques
8. Équations du second degré
9. Modélisations et optimisation
10. Algorithmique et changements de variable

📖 1. Origines et prérequis algébriques

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité simple vérifie $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

📐 Formule — La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Vers 820-830, Al-Khwãrizmi décrit dans son traité d’algèbre « Abrégé du calcul pour la restauration et la comparaison » des transformations permettant de résoudre des équations du second degré.

• Les polynômes du second degré étaient déjà étudiés dans l’algèbre babylonienne dès le XVIIIe siècle avant J.-C., et les Babyloniens savaient résoudre des équations du second degré dès 1700 avant J.-C.

📖 2. Définition et formes d’un polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : Une fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=a_nx^n+a\_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+a_1x+a_0$ avec des coefficients réels et un entier naturel n.
• Degré d’un polynôme : Le plus grand entier n dont le coefficient du terme de degré n est non nul.
• Polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La forme développée est $ax^2+bx+c$, la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ lorsqu’elle existe, et la forme canonique est $a(x-\\alpha)^2+\\beta$.

Compléments

📌 La forme factorisée permet principalement de calculer des images, de déterminer les antécédents éventuels de 0 et d’étudier le signe de la fonction.

📌 La forme canonique permet principalement de déterminer l’extremum, le sommet, le tableau de variation et l’axe de symétrie de la parabole.

💡 Astuce mémo

La forme développée calcule les coefficients, la factorisée révèle les racines et la canonique révèle l’extremum.

📖 3. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Une solution de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📌 Si un polynôme du second degré admet deux racines distinctes x₁ et x₂, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Pour deux racines x₁ et x₂ d’un polynôme $ax^2+bx+c$, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\\frac ba$ et $x_1x_2=\\frac ca$.

Compléments

• Le polynôme $f(x)=2x^2+3x-2$ s’écrit $f(x)=(2x-1)(x+2)$ et possède les racines $\\frac12$ et −2.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → factorisation → signe.

📖 4. Forme canonique et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le réel $\\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha=-\\frac b{2a}$ et $\\beta=-\\frac\\Delta{4a}=f(\\alpha)$.

📌 Si a>0, la fonction est décroissante sur ]−∞; α] puis croissante sur [α;+∞[ et admet un minimum en α.

📌 Si a<0, la fonction est croissante sur ]−∞; α] puis décroissante sur [α;+∞[ et admet un maximum en α.

• La parabole représentative a pour sommet S(α;β) et pour axe de symétrie la droite d’équation x=α.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’ouverture, donc le maximum ou le minimum.

📖 5. Résolution par le discriminant

📝 Points essentiels

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec a≠0, on calcule $\\Delta=b^2-4ac$ puis on distingue les trois cas selon le signe de Δ.

📐 Formule — Si \\Delta&lt;0, l’équation n’a aucune solution réelle et le polynôme ne se factorise pas sur ℝ.

📐 Formule — Si $\\Delta=0$, l’équation possède l’unique solution $x_0=-\\frac b{2a}$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$.

📐 Formule — Si \\Delta&gt;0, l’équation possède deux solutions $x_1=\\frac{-b-\\sqrt\\Delta}{2a}$ et $x_2=\\frac{-b+\\sqrt\\Delta}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Δ négatif : zéro solution ; Δ nul : une solution ; Δ positif : deux solutions.

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Si $\\Delta=0$, le polynôme est du signe de a pour tout réel x différent de sa racine double x₀ et s’annule en x₀.

• Si \\Delta&gt;0 et x_1&lt;x_2, le polynôme est du signe de a sur ]−∞;x₁[ et ]x₂;+∞[, et du signe de −a sur ]x₁;x₂[.

• Pour un trinôme ayant deux racines réelles distinctes x_1&lt;x_2, le signe est celui de a sur \]-\\infty,x_1\[\\cup\]x_2,+\\infty\[ et le signe opposé à celui de a sur \]x_1,x_2\[.

• Un trinôme de degré 2 sans racine réelle garde partout le signe de son coefficient a.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on ramène tous les termes dans un même membre, on détermine les racines du trinôme obtenu, puis on utilise son tableau de signes.

Compléments

• Pour étudier le signe d’un polynôme du second degré, on détermine d’abord ses racines éventuelles, puis on applique le tableau de signe correspondant au discriminant.

• Pour $f(x)=2x^2+2x-12$, les racines sont $-3$ et $2$, et comme le coefficient de $x^2$ est positif, f est positive à l’extérieur de l’intervalle \[-3{,}2\] et négative à l’intérieur.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le signe est celui de a ; entre elles, celui de −a.

📖 7. Formes et transformations paraboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : La droite d’équation $x=\\alpha$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction polynôme du second degré écrite $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\\ne0$, sa forme canonique est $f(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha=-\\frac{b}{2a}$ et $\\beta=f(\\alpha)$.

📌 Si a&gt;0, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum en son sommet, tandis que si a&lt;0, elle est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum.

📐 Formule — La translation horizontale vérifie : la courbe de $g(x)=f(x-h)$ est l’image de celle de f par la translation de vecteur $(h,0)$.

Compléments

• Pour étudier les variations d’une fonction du second degré, on détermine l’abscisse du sommet, puis on utilise le signe de a pour conclure aux variations avant et après cette abscisse.

💡 Astuce mémo

Forme canonique = sommet ; forme factorisée = racines

📖 8. Équations du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\\ne0$, le discriminant est $\\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si \\Delta&lt;0, l’équation du second degré n’admet aucune solution réelle ; si $\\Delta=0$, elle admet une solution réelle double ; si \\Delta&gt;0, elle admet deux solutions réelles distinctes.

📐 Formule — Lorsque $\\Delta\\geq0$, les solutions sont $x_1=\\frac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et, si \\Delta&gt;0, $x_2=\\frac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Si une équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors son trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.

📌 Si a et c sont de signes contraires dans $ax^2+bx+c=0$, alors le produit des racines est négatif et l’équation possède deux solutions réelles distinctes.

💡 Astuce mémo

Discriminant : négatif, nul, positif

📖 9. Modélisations et optimisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une gouttière de longueur 600 cm et de largeur 14 cm, dont chaque côté relevé mesure x cm, le volume est $V(x)=600x(14-2x)$.

📐 Formule — Le volume de la gouttière s’écrit sous forme canonique $V(x)=-1200(x-3{,}5)^2+14{,}700$.

• La contenance maximale de la gouttière est obtenue pour une longueur de côté relevé de 3,5 cm et vaut 14 700 cm³.

📐 Formule — Le bénéfice précédent s’écrit $B(x)=-0{,}1(x-385)^2+13{,}322{,}5$.

Compléments

📐 Formule — Pour une entreprise produisant x pièces, avec un coût $C(x)=0{,}1x^2+10x+1500$ et un prix de vente unitaire de 87 €, le bénéfice est $B(x)=-0{,}1x^2+77x-1500$.

📐 Formule — Pour une entreprise produisant entre 0 et 50 objets, avec un coût $C(x)=3x^2-100x+900$ et un prix unitaire de 20 €, la recette est $R(x)=20x$ et le bénéfice est $B(x)=-3x^2+120x-900$.

💡 Astuce mémo

Modèle quadratique → variation → optimum

📖 10. Algorithmique et changements de variable

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation bicarrée, on pose $X=x^2$, on résout l’équation du second degré en X, puis on conserve uniquement les valeurs de X positives ou nulles avant de revenir aux valeurs de x.

Compléments

📐 Formule — Pour la fonction $h(x)=x^2-1000x$, le maximum éventuel est exclu car son coefficient dominant est positif et la fonction n’est pas majorée sur $\\mathbb{R}$.

• Un algorithme de résolution d’une équation du second degré calcule le discriminant, distingue les cas où il est négatif, nul ou positif, puis affiche zéro, une ou deux solutions.

📐 Formule — Dans le problème de la salle de spectacles, si x désigne la baisse du prix du billet, la recette est $r(x)=-9x^2+150x+15{,}000$.

📐 Formule — Dans le système $x+y=49$ et $x^2+y^2=1225$, les inconnues représentent deux nombres dont la somme et la somme des carrés sont fixées.

💡 Astuce mémo

Poser X = x², résoudre en X, revenir à x

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant, solutions et signe

Formes d’un trinôme