Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Réels et intervalles
2. Intersection et réunion
3. Fonction et vocabulaire
4. Définir une fonction
5. Courbe représentative
6. Équations et intersections
7. Fonction rationnelle et variations

📖 1. Réels et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de l’ensemble des réels ℝ.

★ À maîtriser

📌 Un intervalle fermé contient ses bornes, tandis qu’un intervalle ouvert ne les contient pas.

Compléments

• Dans la notation d’un intervalle, les bornes sont écrites de la plus petite à la plus grande valeur, et a et b sont ses bornes.

• Les symboles +∞ et −∞ se lisent respectivement « plus l’infini » et « moins l’infini ».

💡 Astuce mémo

Crochets vers l’intérieur : borne incluse ; vers l’extérieur : borne exclue

📖 2. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Contient les nombres qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.
• Réunion : Contient tous les nombres qui appartiennent à l’un au moins des deux intervalles.

📝 Points essentiels

• La réunion ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ peut se noter ℝ* ou ℝ \ {0}.

• La réunion ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[ peut se noter ℝ \ {2}, c’est-à-dire l’ensemble des réels privé de 2.

💡 Astuce mémo

Intersection = dans les deux ; réunion = dans au moins un

📖 3. Fonction et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à tout x de Df un unique réel noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des nombres sur lequel la fonction f est définie.
• Nombres réels : Ensemble des nombres réels, qui peuvent représenter l’abscisse d’un point sur un axe gradué.

📝 Points essentiels

📌 Si f(a)=b, alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.

💡 Astuce mémo

À chaque antécédent correspond une unique image

📖 4. Définir une fonction

★ À maîtriser

• Une fonction peut être définie à partir de:
  • un tableau de valeurs
  • une expression
  • une représentation graphique

📐 Formule — La fonction étudiée est définie par $f(x)=x^2+4(8-x)$.

Compléments

• Pour x=2,1, on obtient f(2,1)=28,01.

💡 Astuce mémo

Tableau → expression → représentation graphique

📖 5. Courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) lorsque x parcourt Df.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation de la courbe représentative de f est $y=f(x)$.

📌 Un point M(x ; y) appartient à la courbe de f si et seulement si y=f(x).

Compléments

• Pour la fonction donnée, le point d’abscisse 6 a pour ordonnée f(6)=44.

💡 Astuce mémo

Abscisse x → ordonnée f(x)

📖 6. Équations et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une équation : Déterminer toutes les valeurs qui vérifient l’égalité donnée.

📝 Points essentiels

• La résolution de f(x)=32 donne x(x−4)=0 et l’ensemble des solutions S={0 ; 4}.

• L’équation f(x)=16 n’a aucune solution et son ensemble de solutions est ∅.

📌 Pour deux fonctions représentées dans un même repère, résoudre graphiquement f(x)=g(x) revient à déterminer les abscisses des points d’intersection de leurs courbes.

💡 Astuce mémo

Résoudre f(x)=g(x) → trouver les abscisses des intersections

📖 7. Fonction rationnelle et variations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une autre fonction est donnée par $g(x)=\frac{5}{x^2+1}$.

• Pour cette fonction, le tableau indique notamment g(0)=5, g(1)=2,5, g(2)=1 et g(3)=0,5.

📊 Tableaux de synthèse

Notations des intervalles