Fiche de révision : Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et inégalités
2. Réunion et intersection
3. Vocabulaire des fonctions
4. Définir une fonction
5. Courbe représentative
6. Résolution graphique

📖 1. Intervalles et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de l’ensemble des réels ℝ.

★ À maîtriser

📌 Pour a < b, les notations correspondent à a ≤ x ≤ b pour [a ; b], a < x < b pour ]a ; b[, a ≤ x < b pour [a ; b[, a ≤ x pour [a ; +∞[, a < x pour ]a ; +∞[, x ≤ b pour ]-∞ ; b] et x < b pour ]-∞ ; b[.

Compléments

📌 Un intervalle s’écrit toujours en commençant par sa plus petite valeur, ses extrémités a et b sont ses bornes et le crochet est toujours ouvert au voisinage de +∞ ou de −∞.

💡 Astuce mémo

Crochets vers l’intérieur : bornes incluses ; vers l’extérieur : bornes exclues.

📖 2. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des nombres qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.
• Réunion : Ensemble des nombres qui appartiennent à l’un ou à l’autre des deux intervalles.

📝 Points essentiels

• L’ensemble ]−∞ ; 0] ∪ ]0 ; +∞[ peut se noter ℝ* ou ℝ{0}.

• L’ensemble ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[ peut se noter ℝ{2}, qui se lit « ℝ privé de 2 ».

💡 Astuce mémo

Intersection = en commun ; réunion = dans l’un ou l’autre.

📖 3. Vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à tout x de 𝒟f un unique réel noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble de définition de la fonction f.
• Nombres réels : Ensemble des nombres qui peuvent représenter l’abscisse d’un point sur un axe gradué.

📝 Points essentiels

📌 Si f(a)=b, alors b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.

💡 Astuce mémo

Antécédent → fonction → image.

📖 4. Définir une fonction

★ À maîtriser

• Une fonction peut être définie à partir:
  • d’un tableau de valeurs
  • d’une expression
  • d’une représentation graphique

📐 Formule — Dans l’exemple étudié, la fonction est définie par $f(x)=x^2+4(8-x)$.

Compléments

• Pour x=2,1, l’expression précédente donne f(2,1)=28,01.

💡 Astuce mémo

T-E-G : tableau, expression, graphique.

📖 5. Courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) lorsque x parcourt l’ensemble de définition.

★ À maîtriser

📌 La courbe représentative de f a pour équation y=f(x).

📌 Un point M de coordonnées (x ; y) est sur la courbe de f si et seulement si y=f(x).

Compléments

• Pour la fonction étudiée, le point d’abscisse 6 a pour ordonnée f(6)=44.

💡 Astuce mémo

Abscisse x → ordonnée f(x), donc le point (x ; f(x)) appartient à la courbe.

📖 6. Résolution graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une équation : Déterminer toutes les valeurs qui vérifient l’égalité donnée.

★ À maîtriser

• Pour déterminer si l’aire du jardin vaut 32 m², on résout f(x)=32, soit x²+4(8−x)=32, puis x²−4x=0 et x(x−4)=0, ce qui donne les solutions 0 et 4.

• L’équation f(x)=32 a pour ensemble de solutions 𝒮={0,4}.

📌 Pour deux fonctions f et g représentées dans un même repère, résoudre graphiquement f(x)=g(x) revient à déterminer les coordonnées des points d’intersection de leurs courbes.

Compléments

• Dans le problème du jardin, l’équation f(x)=16 n’a pas de solution.

📐 Formule — Dans le dernier exemple, la fonction est donnée par $g(x)=\frac{5}{x^2+1}$ sur l’intervalle [-3,3].

💡 Astuce mémo

f(x)=g(x) se lit à l’intersection des courbes ; f(x)=k se lit aux ordonnées k.

📊 Tableaux de synthèse

Modes de définition d’une fonction