Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Parabole et sens de variation
3. Forme canonique
4. Sommet et extrema
5. Forme factorisée
6. Racines et intersections

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur R par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des nombres réels et $a\ne0$ ; cette écriture est appelée forme développée.

📝 Points essentiels

• La fonction définie par $K(x)=(x-3)(x+1)=x^2+2x-3$ est un polynôme du second degré de forme développée $x^2+2x-3$, avec a=1, b=2 et c=-3.

📌 La fonction $i(x)=3x-2$ est affine et la fonction $j(x)=7x^2-4x^2+3x-1$ est de degré 3 ; aucune des deux n’est un polynôme du second degré.

📖 2. Parabole et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est appelée une parabole.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, le coefficient c est l’ordonnée du point de la parabole d’abscisse 0, c’est-à-dire son intersection avec l’axe des ordonnées.

📌 Si a>0, la fonction est décroissante puis croissante et la parabole est tournée vers le haut, tandis que si a<0, la fonction est croissante puis décroissante et la parabole est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : parabole vers le bas

📖 3. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, appelée forme canonique, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

• Pour obtenir la forme canonique de $f(x)=2x^2-16x+3$, on calcule $\alpha=-\frac{-16}{2\times2}=4$, puis $\beta=f(4)=-29$, d’où $f(x)=2(x-4)^2-29$.

Compléments

• Dans $f(x)=3(x-4)^2+5$, les paramètres de la forme canonique sont a=3, α=4 et β=5.

📖 4. Sommet et extrema

★ À maîtriser

• Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la parabole a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ et pour axe de symétrie la droite d’équation $x=\alpha$.

📌 Si a>0, la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet le minimum β atteint pour x=α.

Compléments

• Pour $g(x)=-3(x-2)^2+4$, le sommet est S(2;4), la fonction est croissante sur $]-\infty;2]$ puis décroissante sur $[2;+\infty[$, et son maximum vaut 4.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine le sens de variation, donc minimum si a > 0 et maximum si a < 0

📖 5. Forme factorisée

📝 Points essentiels

• Les formes $3(x-1)(x-2)$, $-5(x+4)(x-2)$, $(x-4)(x+6)$ et $-3(x-2)^2$ sont des formes factorisées de polynômes du second degré.

📖 6. Racines et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $x=x_1$ et $x=x_2$, éventuellement égales, et sont appelées les racines de f.

★ À maîtriser

📌 Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, la parabole coupe l’axe des abscisses en $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$, éventuellement en un seul point si $x_1=x_2$.

• Pour une fonction factorisée, l’abscisse du sommet et l’équation de l’axe de symétrie sont $\frac{x_1+x_2}{2}$ et $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

• Pour $f(x)=2(x+3)(x-5)$, les racines sont -3 et 5, le sommet est S(1;-32), l’axe de symétrie est $x=1$ et la fonction admet un minimum -32 atteint pour x=1.

Compléments

📌 Une fonction polynôme du second degré peut ne pas être factorisable ; sa parabole ne coupe alors pas l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Racines → intersections avec l’axe des abscisses → axe de symétrie

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré