Fiche de révision : Fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Parité et périodicité
2. Transformations des courbes représentatives
3. Continuité et dérivation des opérations
4. Calculs de dérivées et domaines
5. Image d’un intervalle par continuité

📖 1. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine est stable par changement de signe et si $f(-x)=f(x)$ pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine est stable par changement de signe et si $f(-x)=-f(x)$ pour tout x de son domaine.
• Fonction périodique : Fonction pour laquelle il existe un réel T tel que, pour tout x de son domaine, x+T appartient aussi à son domaine et $f(x+T)=f(x)$.

📝 Points essentiels

• La somme de deux fonctions paires est paire, mais la somme de deux fonctions périodiques n’est pas nécessairement périodique.

💡 Astuce mémo

Paire : miroir sur l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie centrale à l’origine.

📖 2. Transformations des courbes représentatives

★ À maîtriser

• La courbe de la fonction $x\mapsto f(x+\alpha)$ s’obtient en translatant la courbe de f selon le vecteur $(-\alpha,0)$.

• La fonction $x\mapsto f(x)+\alpha$ correspond à une translation verticale de la courbe de f selon le vecteur $(0,\alpha)$.

Compléments

• La courbe de la fonction $x\mapsto f(2\alpha-x)$ est l’image de la courbe de f par symétrie par rapport à la droite verticale $x=\alpha$.

📖 3. Continuité et dérivation des opérations

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues en a, alors f+g, fg et toute combinaison linéaire $\alpha f+\beta g$ sont continues en a.

📌 Si f et g sont dérivables en a, alors f+g, fg et toute combinaison linéaire $\alpha f+\beta g$ sont dérivables en a.

📐 Formule - Si f est dérivable en a et f(a)≠0, alors $\left(\frac{1}{f}\right)'(a)=-\frac{f'(a)}{f(a)^2}$.

📐 Formule - Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$.

Compléments

📌 Si f est continue en a et f(a)≠0, alors 1/f est continue en a.

📖 4. Calculs de dérivées et domaines

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\ln(1+2e^x)$, le domaine est ℝ et la dérivée est $f'(x)=\frac{2e^x}{1+2e^x}$.

• Pour $f(x)=x^3\ln(2+x)$, le domaine est $]-2,+\infty[$ et $f'(x)=3x^2\ln(2+x)+\frac{x^3}{2+x}$.

📖 5. Image d’un intervalle par continuité

📝 Points essentiels

📌 Si I est un intervalle de ℝ et f:I→ℝ est continue sur I, alors l’image f(I) est un intervalle.