QCM : Fonctions usuelles (9 questions)

Question 1

1. Quelle condition caractérise une fonction paire, en plus de la stabilité de son domaine par changement de signe ?

Pour tout

x

de son domaine,

f(x+1)=f(x)

.

Il existe un réel

T

tel que

f(x+T)=f(x)

.

Pour tout

x

de son domaine,

f(-x)=f(x)

.

Pour tout

x

de son domaine,

f(-x)=-f(x)

.

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en deux points opposés de son domaine, lequel doit être stable par changement de signe. L’égalité $f(-x)=-f(x)$ caractérise plutôt une fonction impaire.

Answer

Pour tout $$x$$ de son domaine, $$f(-x)=f(x)$$.

Question 2

2. Deux fonctions paires sont additionnées sur un domaine commun stable par changement de signe : quelle propriété leur somme possède-t-elle ?

Elle est périodique, car toute somme de fonctions ayant une symétrie possède une période.

Elle est impaire, car les valeurs en des points opposés deviennent opposées après addition.

Elle peut ne pas être paire, car l’addition détruit la symétrie de chaque fonction.

Elle est paire, car les valeurs en des points opposés restent égales après addition.

Explication

Pour chacune des deux fonctions, les valeurs en $x$ et $-x$ sont égales, donc leurs sommes le sont aussi. La périodicité n’est pas garantie par cette propriété de parité.

Answer

Elle est paire, car les valeurs en des points opposés restent égales après addition.

Question 3

3. Pour obtenir la courbe de $x\mapsto f(x+\alpha)$ à partir de celle de $f$ , quelle translation faut-il effectuer ?

Une translation de vecteur

(0,\alpha)

.

Une translation de vecteur

(-\alpha,0)

.

Une translation de vecteur

(0,-\alpha)

.

Une translation de vecteur

(\alpha,0)

.

Explication

Le remplacement de $x$ par $x+\alpha$ décale horizontalement la courbe selon le vecteur $(-\alpha,0)$ . Le vecteur $(0,\alpha)$ correspond à une modification verticale des valeurs de la fonction.

Answer

Une translation de vecteur $$(-\alpha,0)$$.

Question 4

4. Une courbe représentative est transformée en celle de $x\mapsto f(x)+\alpha$ : quel déplacement décrit cette transformation ?

Une translation verticale de vecteur

(0,\alpha)

.

Une translation horizontale de vecteur

(\alpha,0)

.

Une translation horizontale de vecteur

(-\alpha,0)

.

Une translation verticale de vecteur

(0,-\alpha)

.

Explication

Ajouter $\alpha$ aux valeurs de la fonction déplace tous les points verticalement de $\alpha$ . Le vecteur $(-\alpha,0)$ décrit plutôt le déplacement associé à $f(x+\alpha)$ .

Answer

Une translation verticale de vecteur $$(0,\alpha)$$.

Question 5

5. Que signifie la dérivabilité d’une composée $g\circ f$ en un point $a$ lorsque $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f(a)$ ?

Sa dérivée en

a

est le quotient de la dérivée de

g

en

f(a)

par celle de

f

en

a

.

Sa dérivée en

a

est le produit de la dérivée de

g

en

f(a)

par celle de

f

en

a

.

Sa dérivée en

a

est la somme de la dérivée de

g

en

f(a)

et de celle de

f

en

a

.

Sa dérivée en

a

est la dérivée de

g

évaluée en

a

, multipliée par

f(a)

.

Explication

La règle de dérivation des fonctions composées donne $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$ . La somme des dérivées concerne la dérivée d’une somme de fonctions, et non celle d’une composée.

Answer

Sa dérivée en $$a$$ est le produit de la dérivée de $$g$$ en $$f(a)$$ par celle de $$f$$ en $$a$$.

Question 6

6. Pour $f(x)=x^3\ln(2+x)$ , quel est son domaine de définition ?

\mathbb{R}

[-2,+\infty[

]-2,+\infty[

]-\infty,-2[

Explication

Le logarithme $\ln(2+x)$ est défini lorsque $2+x>0$ , donc lorsque $x>-2$ . Inclure $-2$ comme dans l’intervalle fermé est incorrect, car l’argument du logarithme y vaut zéro.

Answer

$$]-2,+\infty[$$

Question 7

7. Quel rôle joue la continuité de $f$ sur un intervalle $I$ pour la forme de son image $f(I)$ ?

Elle garantit que

f(I)

est un intervalle de

\mathbb{R}

.

Elle garantit que

f(I)

est un intervalle ouvert de

\mathbb{R}

.

Elle garantit que

f(I)

est borné dans

\mathbb{R}

.

Elle garantit que

f(I)

est un intervalle fermé de

\mathbb{R}

.

Explication

La continuité sur un intervalle préserve la propriété d’être un intervalle pour son image, sans imposer que celle-ci soit ouverte, fermée ou bornée. Par exemple, une fonction continue sur $\mathbb{R}$ peut avoir une image non bornée, ce qui invalide la dernière caractérisation.

Answer

Elle garantit que $$f(I)$$ est un intervalle de $$\mathbb{R}$$.

Question 8

8. Quelle distinction entre une fonction paire et une fonction impaire décrit correctement leurs valeurs en deux points opposés de leur domaine ?

Une fonction paire vérifie

f(-x)=-f(x)

, tandis qu’une fonction impaire vérifie

f(-x)=f(x)

.

Une fonction paire vérifie

f(x+T)=f(x)

, tandis qu’une fonction impaire vérifie

f(-x)=-f(x)

.

Une fonction paire vérifie

f(-x)=f(x)

, tandis qu’une fonction impaire vérifie

f(-x)=-f(x)

.

Une fonction paire vérifie

f(-x)=f(x)

, tandis qu’une fonction impaire vérifie

f(x+T)=f(x)

.

Explication

La parité compare les valeurs de la fonction en $x$ et $-x$ : elles sont égales pour une fonction paire et opposées pour une fonction impaire. La relation faisant intervenir $x+T$ caractérise plutôt la périodicité.

Answer

Une fonction paire vérifie $$f(-x)=f(x)$$, tandis qu’une fonction impaire vérifie $$f(-x)=-f(x)$$.

Question 9

9. Si la courbe de $f$ est remplacée par son image par symétrie par rapport à la droite verticale $x=\alpha$ , quelle fonction représente la courbe obtenue ?

La fonction

x\mapsto f(2\alpha-x)

La fonction

x\mapsto f(x)+\alpha

La fonction

x\mapsto f(\alpha-x)

La fonction

x\mapsto f(x+\alpha)

Explication

La réflexion autour de la droite verticale $x=\alpha$ associe à chaque abscisse $x$ l’abscisse symétrique $2\alpha-x$ , ce qui donne $f(2\alpha-x)$ . La fonction $f(\alpha-x)$ correspondrait à une réflexion autour de $x=\frac{\alpha}{2}$ , et non autour de $x=\alpha$ .

Answer

La fonction $$x\mapsto f(2\alpha-x)$$

QCM : Fonctions usuelles (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction paire, en plus de la stabilité de son domaine par changement de signe ?

2. Deux fonctions paires sont additionnées sur un domaine commun stable par changement de signe : quelle propriété leur somme possède-t-elle ?

3. Pour obtenir la courbe de $x\mapsto f(x+\alpha)$ à partir de celle de $f$ , quelle translation faut-il effectuer ?

4. Une courbe représentative est transformée en celle de $x\mapsto f(x)+\alpha$ : quel déplacement décrit cette transformation ?

5. Que signifie la dérivabilité d’une composée $g\circ f$ en un point $a$ lorsque $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f(a)$ ?

6. Pour $f(x)=x^3\ln(2+x)$ , quel est son domaine de définition ?

7. Quel rôle joue la continuité de $f$ sur un intervalle $I$ pour la forme de son image $f(I)$ ?

8. Quelle distinction entre une fonction paire et une fonction impaire décrit correctement leurs valeurs en deux points opposés de leur domaine ?

9. Si la courbe de $f$ est remplacée par son image par symétrie par rapport à la droite verticale $x=\alpha$ , quelle fonction représente la courbe obtenue ?

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QCM : Fonctions usuelles (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une fonction paire, en plus de la stabilité de son domaine par changement de signe ?

2. Deux fonctions paires sont additionnées sur un domaine commun stable par changement de signe : quelle propriété leur somme possède-t-elle ?

3. Pour obtenir la courbe de x↦f(x+α)x\mapsto f(x+\alpha)x↦f(x+α) à partir de celle de fff, quelle translation faut-il effectuer ?

4. Une courbe représentative est transformée en celle de x↦f(x)+αx\mapsto f(x)+\alphax↦f(x)+α : quel déplacement décrit cette transformation ?

5. Que signifie la dérivabilité d’une composée g∘fg\circ fg∘f en un point aaa lorsque fff est dérivable en aaa et ggg en f(a)f(a)f(a) ?

6. Pour f(x)=x3ln⁡(2+x)f(x)=x^3\ln(2+x)f(x)=x3ln(2+x), quel est son domaine de définition ?

7. Quel rôle joue la continuité de fff sur un intervalle III pour la forme de son image f(I)f(I)f(I) ?

8. Quelle distinction entre une fonction paire et une fonction impaire décrit correctement leurs valeurs en deux points opposés de leur domaine ?

9. Si la courbe de fff est remplacée par son image par symétrie par rapport à la droite verticale x=αx=\alphax=α, quelle fonction représente la courbe obtenue ?

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3. Pour obtenir la courbe de $x\mapsto f(x+\alpha)$ à partir de celle de $f$ , quelle translation faut-il effectuer ?

4. Une courbe représentative est transformée en celle de $x\mapsto f(x)+\alpha$ : quel déplacement décrit cette transformation ?

5. Que signifie la dérivabilité d’une composée $g\circ f$ en un point $a$ lorsque $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f(a)$ ?

6. Pour $f(x)=x^3\ln(2+x)$ , quel est son domaine de définition ?

7. Quel rôle joue la continuité de $f$ sur un intervalle $I$ pour la forme de son image $f(I)$ ?

9. Si la courbe de $f$ est remplacée par son image par symétrie par rapport à la droite verticale $x=\alpha$ , quelle fonction représente la courbe obtenue ?