Fiche de révision : Fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Définition et domaine des fonctions
2. Images et antécédents
3. Opérations et composition
4. Bornes et monotonie
5. Parité et périodicité
6. Injectivité et réciproque
7. Valeur absolue
8. Fonctions polynomiales
9. Logarithme, exponentielle et puissances
10. Fonctions trigonométriques
11. Fonctions trigonométriques réciproques
12. Fonctions hyperboliques

📖 1. Définition et domaine des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle associe à chaque élément de son domaine de définition un unique élément de son ensemble d’arrivée.

📝 Points essentiels

📌 Le domaine de définition est l’ensemble de départ, tandis que l’ensemble d’arrivée est le codomaine dans lequel les valeurs de la fonction sont recherchées.

• Pour déterminer le domaine maximal de ln(x)/√(x−2), il faut simultanément imposer x>0 pour le logarithme et x>2 pour que le dénominateur soit défini et non nul.

📖 2. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Antécédent : Un antécédent de y par f est un élément x du domaine de définition tel que f(x)=y.
• Image d’une fonction : L’image de f est l’ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x parcourt son domaine de définition.
• Image directe : L’image directe d’un sous-ensemble D du domaine est l’ensemble des valeurs f(x) pour x appartenant à D.
• Image réciproque : L’image réciproque d’un ensemble A est l’ensemble des éléments x du domaine tels que f(x) appartient à A.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x² sur ℝ, l’image de ℝ est [0,+∞[, l’image de [−2,4] est [0,16], et l’image réciproque de [0,1] est [−1,1].

💡 Astuce mémo

Un antécédent est un élément du domaine ; une image est un élément d’arrivée.

📖 3. Opérations et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : La composée g∘f est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)) lorsque f(D_f)⊂D_g.
• Somme de fonctions : Pour deux fonctions f et g définies sur un même domaine D, leur somme est définie par (f+g)(x)=f(x)+g(x).
• Produit de fonctions : Pour deux fonctions f et g définies sur un même domaine D, leur produit est défini par (f×g)(x)=f(x)×g(x).

★ À maîtriser

📌 La composition des fonctions n’est généralement pas commutative, et l’existence de g∘f n’implique pas celle de f∘g.

Compléments

• Pour f(x)=sin x sur ℝ et g(x)=√x sur ℝ₊, g∘f n’existe pas sur ℝ car sin(ℝ)=[−1,1] n’est pas inclus dans ℝ₊, tandis que f∘g existe et vaut sin(√x).

📖 4. Bornes et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction majorée : Une fonction f est majorée sur D s’il existe M∈ℝ tel que f(x)≤M pour tout x∈D.
• Fonction bornée : Une fonction f est bornée sur D s’il existe m,M∈ℝ tels que m≤f(x)≤M pour tout x∈D.
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur D si x≤y implique f(x)≤f(y) pour tous x,y∈D.
• Fonction minorée : Une fonction f est minorée sur D s’il existe m∈ℝ tel que f(x)≥m pour tout x∈D.

📝 Points essentiels

• Le critère f(x)≤f(x+1) pour tout réel x ne suffit pas à établir que f est croissante sur ℝ, comme le montre f(x)=sin(2πx).

💡 Astuce mémo

Majorée : f(x)≤M ; minorée : f(x)≥m.

📖 5. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction définie sur un domaine stable par changement de signe est paire si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction définie sur un domaine stable par changement de signe est impaire si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction périodique : Une fonction est T-périodique, pour T>0, si f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine et si le domaine contient x+T chaque fois qu’il contient x.

📝 Points essentiels

• La fonction x↦x² est paire et la fonction x↦x³ est impaire.

• Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie d’axe ; impaire : symétrie de centre.

📖 6. Injectivité et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une fonction f:D_f→A_f est injective si f(x)=f(x') implique x=x' pour tous x,x'∈D_f.
• Surjectivité : Une fonction f:D_f→A_f est surjective si tout élément de A_f possède au moins un antécédent dans D_f.
• Bijectivité : Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective, de sorte que chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent.
• Fonction réciproque : Si f:D_f→f(D_f) est bijective, sa réciproque f⁻¹:f(D_f)→D_f vérifie f⁻¹(f(x))=x et f(f⁻¹(y))=y.

📝 Points essentiels

📌 Toute fonction strictement monotone sur son domaine est injective, et toute fonction vérifiant f(D_f)=A_f est surjective.

• La fonction x↦x² de [0,+∞[ vers [0,+∞[ est bijective et sa réciproque est y↦√y.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un.

📖 7. Valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue est définie par |x|=x si x≥0 et |x|=−x si x≤0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$.

📐 Formule - Pour tous réels x,y, $|x+y|\leq |x|+|y|$.

Compléments

• Sur la droite réelle, |a−b| représente la distance entre a et b.

📐 Formule - Pour tous réels x,y, $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|$.

📌 Pour r≥0, |X|≤r équivaut à −r≤X≤r, tandis que pour r<0 cette inégalité n’a pas de solution.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance à zéro sur la droite réelle.

📖 8. Fonctions polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : Une fonction polynôme de degré n s’écrit P(x)=a₀+a₁x+⋯+aₙxⁿ, avec a₀,…,aₙ réels et aₙ≠0.
• Racine d’un polynôme : Un réel α est une racine de P si P(α)=0.

★ À maîtriser

• Un polynôme de degré n possède au plus n racines réelles.

Compléments

📌 α est une racine de P si et seulement si P(x) se factorise par (x−α), c’est-à-dire P(x)=(x−α)Q(x) pour un polynôme Q de degré n−1.

• Le polynôme 2x²−x−1 a pour racines −1/2 et 1 et se factorise en (2x+1)(x−1).

📖 9. Logarithme, exponentielle et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est l’unique fonction dérivable ln:]0,+∞[→ℝ telle que ln′(x)=1/x.
• Exponentielle : La fonction exponentielle exp:ℝ→]0,+∞[ est la réciproque du logarithme népérien et se note eˣ.
• Puissance de base b : Pour b>0 et b≠1, la fonction exponentielle de base b est bˣ=e^{x\ln(b)} et son logarithme réciproque est log_b(x)=ln(x)/ln(b).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b>0, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

• La fonction ln est une bijection de ]0,+∞[ dans ℝ.

Compléments

📐 Formule - Pour a,b>0, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

• Pour un exposant irrationnel positif a, xᵃ=e^{a ln(x)} est défini sur ]0,+∞[, y prend ses valeurs dans ]0,+∞[, et la fonction est strictement croissante.

• Pour un exposant irrationnel négatif a, xᵃ=e^{a ln(x)} est défini sur ]0,+∞[, prend ses valeurs dans ]0,+∞[, et est strictement décroissant.

💡 Astuce mémo

ln et exp se défont mutuellement : ln(eʸ)=y et e^{ln x}=x.

📖 10. Fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

📐 Formule - Pour tout x où cos(x)≠0, $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

• Le sinus et le cosinus ont pour image [−1,1], et la tangente a pour image ℝ.

Compléments

• La fonction sinus est impaire et 2π-périodique.

• La fonction cosinus est paire et 2π-périodique.

📐 Formule - Pour tout x appartenant au domaine de la tangente, $1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$.

📖 11. Fonctions trigonométriques réciproques

★ À maîtriser

• La restriction de sin à [−π/2,π/2] est une bijection vers [−1,1], dont la réciproque est arcsin:[−1,1]→[−π/2,π/2].

• La restriction de cos à [0,π] est une bijection vers [−1,1], dont la réciproque est arccos:[−1,1]→[0,π].

• La restriction de tan à ]−π/2,π/2[ est une bijection vers ℝ, dont la réciproque est arctan:ℝ→]−π/2,π/2[.

Compléments

📐 Formule - Pour tout y∈ℝ, $-\frac{\pi}{2}<\arctan(y)<\frac{\pi}{2}$.

📐 Formule - Pour tout y∈]−1,1[, $\arcsin(-y)=-\arcsin(y)$.

• La périodicité du sinus donne sin(13π/3)=sin(π/3), donc arcsin(sin(13π/3))=π/3.

💡 Astuce mémo

arcsin(sin x)=x seulement sur [−π/2,π/2].

📖 12. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus hyperbolique : Le sinus hyperbolique est défini pour tout réel x par sh(x)=(eˣ−e⁻ˣ)/2.
• Cosinus hyperbolique : Le cosinus hyperbolique est défini pour tout réel x par ch(x)=(eˣ+e⁻ˣ)/2.
• Argument sinus hyperbolique : La fonction argsh:ℝ→ℝ est la réciproque de sh:ℝ→ℝ et vérifie argsh(y)=ln(y+√(y²+1)).
• Argument cosinus hyperbolique : La fonction argch:[1,+∞[→[0,+∞[ est la réciproque de la restriction de ch à [0,+∞[ et vérifie argch(y)=ln(y+√(y²−1)).

★ À maîtriser

• La fonction sh est une bijection de ℝ sur ℝ et vérifie sh(−x)=−sh(x).

• La fonction ch a pour image [1,+∞[, vérifie ch(x)≥1 et ch(−x)=ch(x), et sa restriction à [0,+∞[ est bijective vers [1,+∞[.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel x, $\operatorname{ch}(x)+\operatorname{sh}(x)=e^x$.

💡 Astuce mémo

sh est impaire et bijective sur ℝ ; ch est paire et bijective sur [0,+∞[.