QCM : Fonctions usuelles (35 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise une fonction réelle définie sur un domaine donné ?

Elle associe à certains éléments du domaine un élément de l’ensemble d’arrivée.
Elle associe à chaque élément du domaine plusieurs éléments de l’ensemble d’arrivée.
Elle associe à chaque élément du domaine un unique élément de l’ensemble d’arrivée.
Elle associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée un unique élément du domaine.

Elle associe à chaque élément du domaine un unique élément de l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une fonction réelle attribue à chaque élément de son domaine exactement une valeur dans l’ensemble d’arrivée. Une relation qui attribue plusieurs valeurs à une même entrée ne satisfait pas cette définition.

2. Quel est le domaine maximal de la fonction f(x)=ln⁡(x)x−2f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x-2}} ?

]2,+∞[]2,+\infty[
]0,+∞[]0,+\infty[
]0,2[]0,2[
[2,+∞[[2,+\infty[

$$]2,+\infty[$$

Explication

Le logarithme impose x>0x>0, tandis que la racine au dénominateur impose x−2>0x-2>0. Leur intersection est ]2,+∞[]2,+\infty[, car le dénominateur ne peut pas être nul.

3. Que signifie qu’un réel xx est un antécédent de yy par une fonction ff ?

yy appartient au domaine de ff et f(y)=xf(y)=x.
xx appartient à l’image de ff et f(y)=xf(y)=x.
xx appartient au domaine de ff et f(x)=yf(x)=y.
yy est une entrée du domaine et f(x)=xf(x)=x.

$$x$$ appartient au domaine de $$f$$ et $$f(x)=y$$.

Explication

Un antécédent de yy est une entrée du domaine dont l’image par ff vaut yy. La condition f(y)=xf(y)=x inverse les rôles de l’entrée et de la valeur obtenue.

4. Quelle distinction décrit correctement l’image d’une fonction et la valeur f(x)f(x) ?

L’image est une valeur particulière de la fonction, tandis que f(x)f(x) est l’ensemble de ses valeurs.
L’image est l’ensemble des entrées du domaine, tandis que f(x)f(x) est une sortie possible.
L’image est l’ensemble des valeurs non obtenues, tandis que f(x)f(x) est une entrée du domaine.
L’image est l’ensemble des valeurs obtenues sur le domaine, tandis que f(x)f(x) est une valeur particulière.

L’image est l’ensemble des valeurs obtenues sur le domaine, tandis que $$f(x)$$ est une valeur particulière.

Explication

L’image de ff rassemble toutes les valeurs f(x)f(x) lorsque xx parcourt le domaine, alors que f(x)f(x) désigne une valeur pour une entrée donnée. Confondre ces notions revient à prendre une valeur particulière pour l’ensemble entier.

5. Dans quelles conditions la composée g∘fg\circ f est-elle définie, et dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées ?

Lorsque Dg⊂DfD_g\subset D_f, on applique d’abord ff, puis gg.
Lorsque f(Df)⊂Dgf(D_f)\subset D_g, on applique d’abord ff, puis gg.
Lorsque Df⊂DgD_f\subset D_g, on applique d’abord gg, puis ff.
Lorsque g(Dg)⊂Dfg(D_g)\subset D_f, on applique d’abord gg, puis ff.

Lorsque $$f(D_f)\subset D_g$$, on applique d’abord $$f$$, puis $$g$$.

Explication

Pour que g(f(x))g(f(x)) soit défini, les valeurs prises par ff doivent appartenir au domaine de gg; on applique donc ff avant gg. La condition inversée correspond à l’ordre requis pour examiner f∘gf\circ g.

6. Si g∘fg\circ f est définie, que peut-on conclure sur f∘gf\circ g et sur la commutativité de la composition ?

On ne peut pas conclure que f∘gf\circ g existe, mais la composition est généralement commutative.
On peut conclure que f∘gf\circ g existe, et la composition est généralement commutative.
On peut conclure que f∘gf\circ g existe, mais la composition n’est généralement pas commutative.
On ne peut pas conclure que f∘gf\circ g existe, et la composition n’est généralement pas commutative.

On ne peut pas conclure que $$f\circ g$$ existe, et la composition n’est généralement pas commutative.

Explication

La composition n’est généralement pas commutative, et l’existence de g∘fg\circ f ne garantit pas celle de f∘gf\circ g. Les deux compositions exigent des conditions de domaine différentes.

7. Une fonction ff est bornée sur DD lorsque quelle condition est satisfaite ?

Il existe un réel MM tel que f(x)≤Mf(x)\leq M pour tout x∈Dx\in D.
Il existe un réel mm tel que f(x)≥mf(x)\geq m pour tout x∈Dx\in D.
Il existe des réels mm et MM tels que m≤f(x)≤Mm\leq f(x)\leq M pour tout x∈Dx\in D.
Pour tous x,y∈Dx,y\in D, x≤yx\leq y implique f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y).

Il existe des réels $$m$$ et $$M$$ tels que $$m\leq f(x)\leq M$$ pour tout $$x\in D$$.

Explication

Une fonction bornée possède à la fois une borne inférieure et une borne supérieure valables sur tout le domaine. La seule existence d’une borne supérieure caractérise une fonction majorée, sans garantir de borne inférieure.

8. Sur un domaine DD, que permet de conclure la croissance d’une fonction lorsque x≤yx\leq y ?

Que f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y), avec la possibilité que les deux valeurs soient égales.
Que f(x)≥f(y)f(x)\geq f(y), avec la possibilité que les deux valeurs soient égales.
Que f(x)≠f(y)f(x)\neq f(y) dès que x≠yx\neq y, sans ordre entre les valeurs.
Que f(x)<f(y)f(x)<f(y) pour tous ces couples, même si les valeurs peuvent coïncider ailleurs.

Que $$f(x)\leq f(y)$$, avec la possibilité que les deux valeurs soient égales.

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre au sens large : x≤yx\leq y entraîne f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y), et l’égalité est possible. Exiger une inégalité stricte correspond à la croissance stricte, une condition plus forte.

9. Sur un domaine stable par changement de signe, quelle relation caractérise une fonction paire ?

Pour tout xx du domaine, f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) pour un T>0T>0.
Pour tous x≤yx\leq y du domaine, f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y).
Pour tout xx du domaine, f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Pour tout xx du domaine, f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).

Pour tout $$x$$ du domaine, $$f(-x)=f(x)$$.

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en deux points opposés, ce qui s’écrit f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). La relation f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) définit plutôt une fonction impaire.

10. Quelle propriété caractérise une fonction impaire sur un domaine stable par changement de signe ?

La valeur en l’opposé est égale à la valeur : f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
Un décalage positif conserve la valeur : f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x).
L’ordre des arguments est conservé : x≤yx\leq y entraîne f(x)≤f(y)f(x)\leq f(y).
La valeur en l’opposé est l’opposé de la valeur : f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).

La valeur en l’opposé est l’opposé de la valeur : $$f(-x)=-f(x)$$.

Explication

Une fonction impaire vérifie f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour chaque point de son domaine. L’égalité f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) caractérise la parité, et non l’imparité.

11. Une fonction TT-périodique, avec T>0T>0, conserve ses valeurs sous quel changement de variable ?

La multiplication de l’argument par TT, puisque f(Tx)=f(x)f(Tx)=f(x).
Le changement de signe de l’argument, puisque f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
L’augmentation de la valeur de la fonction de TT, puisque f(x)+T=f(x)f(x)+T=f(x).
Le décalage de l’argument de TT, puisque f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) lorsque les deux arguments appartiennent au domaine.

Le décalage de l’argument de $$T$$, puisque $$f(x+T)=f(x)$$ lorsque les deux arguments appartiennent au domaine.

Explication

La périodicité signifie qu’un décalage horizontal de longueur TT reproduit la même valeur, lorsque le domaine contient les deux arguments concernés. Cette propriété n’impose pas que la fonction soit constante.

12. Quelle condition définit l’injectivité d’une fonction f:Df→Aff:D_f\to A_f ?

Chaque élément de AfA_f possède au moins un antécédent dans DfD_f.
Si deux éléments de DfD_f ont la même image, alors ils sont égaux.
Chaque élément de AfA_f possède exactement un antécédent dans DfD_f.
Deux éléments distincts de DfD_f peuvent avoir la même image.

Si deux éléments de $$D_f$$ ont la même image, alors ils sont égaux.

Explication

L’injectivité exige que deux antécédents ayant la même image soient nécessairement égaux, autrement dit qu’une valeur ait au plus un antécédent. La condition d’au moins un antécédent pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée définit la surjectivité.

13. Une fonction f:Df→Aff:D_f\to A_f est surjective lorsque quelle propriété est vérifiée ?

Tout élément de AfA_f possède exactement un antécédent dans DfD_f.
Tout élément de AfA_f possède au moins un antécédent dans DfD_f.
Tout élément de AfA_f possède au plus un antécédent dans DfD_f.
Tout élément de DfD_f possède au moins une image dans AfA_f.

Tout élément de $$A_f$$ possède au moins un antécédent dans $$D_f$$.

Explication

La surjectivité garantit que chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint par la fonction. La condition d’au plus un antécédent correspond à l’injectivité, et ne garantit pas que tous les éléments de l’ensemble d’arrivée soient atteints.

14. Que réunit une fonction bijective de DfD_f vers AfA_f ?

La majoration et la minoration de ses valeurs sur DfD_f.
La croissance et la périodicité de ses valeurs sur DfD_f.
La parité et l’imparité, donnant deux antécédents à chaque élément de AfA_f.
L’injectivité et la surjectivité, donnant un antécédent unique à chaque élément de AfA_f.

L’injectivité et la surjectivité, donnant un antécédent unique à chaque élément de $$A_f$$.

Explication

Une bijection est à la fois injective et surjective : chaque élément de l’ensemble d’arrivée est atteint et possède un seul antécédent. La surjectivité seule garantit qu’il existe au moins un antécédent, mais pas qu’il soit unique.

15. Pour une bijection f:Df→f(Df)f:D_f\to f(D_f), quelle égalité exprime le retour à l’argument initial après application de la fonction puis de sa réciproque ?

Pour tout x∈Dfx\in D_f, f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x.
Pour tout y∈f(Df)y\in f(D_f), f−1(f(y))=yf^{-1}(f(y))=y.
Pour tout x∈Dfx\in D_f, f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x))=x.
Pour tout y∈f(Df)y\in f(D_f), f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y.

Pour tout $$x\in D_f$$, $$f^{-1}(f(x))=x$$.

Explication

L’identité f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x s’applique aux éléments xx du domaine de ff. L’identité qui commence par appliquer la réciproque, f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y))=y, concerne plutôt les éléments yy de l’image de ff.

16. Quelle propriété distingue la valeur absolue d’un réel de ce réel lui-même ?

La valeur absolue conserve toujours le signe du réel.
La valeur absolue vaut zéro pour tout réel négatif.
La valeur absolue est non négative, même si le réel est négatif.
La valeur absolue est négative lorsque le réel est négatif.

La valeur absolue est non négative, même si le réel est négatif.

Explication

Par définition, la valeur absolue d’un réel est non négative, alors que le réel lui-même peut être négatif. Confondre les deux conduirait à attribuer à la valeur absolue le signe du réel.

17. Pour x=−5x=-5, quelle est la valeur de x2\sqrt{x^2} ?

2525, car élever xx au carré donne le résultat final.
55, car la racine carrée de x2x^2 vaut ∣x∣|x| sur R\mathbb{R}.
−5-5, car la racine carrée de x2x^2 restitue le réel xx.
La valeur n’est pas définie, car xx est négatif.

$$5$$, car la racine carrée de $$x^2$$ vaut $$|x|$$ sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

Pour tout réel, x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|, donc ici le résultat est 55. La formule x2=x\sqrt{x^2}=x ne convient que lorsque x≥0x\geq 0.

18. Si x=3x=3 et y=−5y=-5, quelle comparaison illustre l’inégalité triangulaire pour la valeur absolue ?

∣x+y∣=8≥∣x∣+∣y∣=2|x+y|=8\geq |x|+|y|=2
∣x+y∣=8≤∣x∣+∣y∣=2|x+y|=8\leq |x|+|y|=2
∣x+y∣=2≤∣x∣+∣y∣=8|x+y|=2\leq |x|+|y|=8
∣x+y∣=2≥∣x∣+∣y∣=8|x+y|=2\geq |x|+|y|=8

$$|x+y|=2\leq |x|+|y|=8$$

Explication

L’inégalité triangulaire affirme que la valeur absolue d’une somme ne dépasse pas la somme des valeurs absolues; ici, 2≤82\leq 8. L’ordre inverse ne respecte pas cette propriété.

19. Quelle condition sur le coefficient dominant définit un polynôme de degré nn dans l’écriture P(x)=a0+a1x+⋯+anxnP(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n ?

Le coefficient a0a_0 est non nul.
Le coefficient ana_n est non nul.
Le coefficient ana_n est égal à 11.
Tous les coefficients sont non nuls.

Le coefficient $$a_n$$ est non nul.

Explication

Le degré est nn lorsque le coefficient du terme xnx^n, soit ana_n, est non nul. Un coefficient constant non nul ne garantit pas à lui seul que le degré soit nn.

20. Que faut-il vérifier pour établir qu’un réel α\alpha est une racine du polynôme PP ?

Que P(α)=αP(\alpha)=\alpha.
Que P(x)=0P(x)=0 pour tout réel xx.
Que P(0)=αP(0)=\alpha.
Que P(α)=0P(\alpha)=0.

Que $$P(\alpha)=0$$.

Explication

Un réel α\alpha est une racine de PP lorsque son image par PP est nulle. L’égalité P(α)=αP(\alpha)=\alpha ne caractérise pas une racine, sauf cas particulier où α=0\alpha=0.

21. Un polynôme de degré 44 peut-il avoir six racines réelles distinctes ?

Oui, car son degré indique au moins quatre racines réelles.
Oui, si ses coefficients sont tous des nombres réels.
Non, car il possède au plus quatre racines réelles.
Non, car tout polynôme de degré pair n’a aucune racine réelle.

Non, car il possède au plus quatre racines réelles.

Explication

Un polynôme de degré nn possède au plus nn racines réelles; pour le degré 44, six racines distinctes sont donc impossibles. Le degré ne garantit pas un nombre minimal de racines réelles.

22. Sur quel ensemble la fonction logarithme népérien est-elle définie ?

Sur les réels différents de zéro.
Sur les réels strictement positifs.
Sur tous les réels.
Sur les réels non négatifs.

Sur les réels strictement positifs.

Explication

Le logarithme népérien est défini sur l’intervalle ]0,+∞[]0,+\infty[. Contrairement à la fonction exponentielle, il n’est pas défini pour les réels négatifs ni pour zéro.

23. Pour a,b>0a,b>0, comment s’écrit le logarithme népérien du produit abab ?

ln⁡(a)×ln⁡(b)\ln(a)\times\ln(b)
ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(a)+\ln(b)
ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln(a)-\ln(b)
ln⁡(a+b)\ln(a+b)

$$\ln(a)+\ln(b)$$

Explication

Le logarithme d’un produit de deux réels positifs est la somme de leurs logarithmes. La différence des logarithmes correspond plutôt au logarithme d’un quotient.

24. Quelle propriété de la fonction ln⁡\ln garantit que chaque réel est l’image d’un unique réel strictement positif ?

Elle est une bijection de R\mathbb{R} dans ]0,+∞[]0,+\infty[.
Elle est une bijection de ]0,+∞[]0,+\infty[ dans R\mathbb{R}.
Elle est une fonction définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ à valeurs dans ]0,+∞[]0,+\infty[.
Elle est une fonction croissante de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}.

Elle est une bijection de $$]0,+\infty[$$ dans $$\mathbb{R}$$.

Explication

La bijection de ]0,+∞[]0,+\infty[ vers R\mathbb{R} signifie que chaque réel possède un unique antécédent positif par ln⁡\ln. Les ensembles de départ et d’arrivée sont inversés dans la description de l’exponentielle, sa réciproque.

25. Comment caractériser la fonction exponentielle exp⁡\exp par rapport au logarithme népérien ?

C’est la dérivée de ln⁡\ln, définie de R\mathbb{R} vers ]0,+∞[]0,+\infty[.
C’est la fonction réciproque de ln⁡\ln, définie de ]0,+∞[]0,+\infty[ vers R\mathbb{R}.
C’est la fonction réciproque de ln⁡\ln, définie de R\mathbb{R} vers ]0,+∞[]0,+\infty[.
C’est la fonction réciproque de la valeur absolue, définie sur R\mathbb{R}.

C’est la fonction réciproque de $$\ln$$, définie de $$\mathbb{R}$$ vers $$]0,+\infty[$$.

Explication

La fonction exponentielle est la réciproque de ln⁡\ln et envoie tout réel vers un réel strictement positif; elle se note aussi exe^x. Les domaines et les ensembles d’arrivée sont inversés pour la fonction ln⁡\ln.

26. Pour quelles valeurs de x la tangente tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} est-elle définie ?

Pour les valeurs où cos⁡(x)≠0\cos(x)\neq 0
Pour les valeurs où cos⁡(x)=0\cos(x)=0
Pour les valeurs où sin⁡(x)≠0\sin(x)\neq 0
Pour toutes les valeurs réelles de x

Pour les valeurs où $$\cos(x)\neq 0$$

Explication

La tangente est définie par le quotient du sinus par le cosinus, donc son dénominateur doit être non nul. Le sinus et le cosinus, eux, sont définis pour tout réel, mais cela ne rend pas la tangente définie partout.

27. Quelles sont les images du sinus, du cosinus et de la tangente ?

Les trois fonctions ont pour image [−1,1][-1,1].
Le sinus et la tangente ont pour image [−1,1][-1,1], tandis que le cosinus a pour image R\mathbb{R}.
Le sinus a pour image R\mathbb{R}, tandis que le cosinus et la tangente ont pour image [−1,1][-1,1].
Le sinus et le cosinus ont pour image [−1,1][-1,1], tandis que la tangente a pour image R\mathbb{R}.

Le sinus et le cosinus ont pour image $$[-1,1]$$, tandis que la tangente a pour image $$\mathbb{R}$$.

Explication

Le sinus et le cosinus sont bornés entre −1 et 1, alors que la tangente peut prendre toute valeur réelle. L’idée que la tangente serait également bornée confond son comportement avec celui du sinus et du cosinus.

28. Quelle identité relie les carrés du sinus et du cosinus pour tout réel x ?

cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=1\cos^2(x)-\sin^2(x)=1
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=x\cos^2(x)+\sin^2(x)=x
cos⁡(x)+sin⁡(x)=1\cos(x)+\sin(x)=1

$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$

Explication

La somme des carrés du cosinus et du sinus vaut 1 pour chaque réel x. Leur différence n’est pas constante et ne remplace donc pas cette identité.

29. Pour quel domaine de x peut-on garantir que arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x)=x ?

Pour tout réel x
Pour x∈[−π2,π2]x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
Pour x∈[−1,1]x\in[-1,1]
Pour x∈[0,π]x\in[0,\pi]

Pour $$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$

Explication

La fonction arcsin est l’inverse de la restriction du sinus à [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], ce qui garantit l’égalité sur cet intervalle. Pour tout réel y de [−1,1][-1,1], c’est plutôt sin⁡(arcsin⁡y)=y\sin(\arcsin y)=y qui est garanti.

30. Dans quel intervalle l’égalité arccos⁡(cos⁡x)=x\arccos(\cos x)=x est-elle garantie ?

Pour x∈[−π2,π2]x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
Pour tout réel x
Pour x∈[−1,1]x\in[-1,1]
Pour x∈[0,π]x\in[0,\pi]

Pour $$x\in[0,\pi]$$

Explication

Arccos est définie comme l’inverse de la restriction du cosinus à [0,π][0,\pi], donc l’égalité est garantie sur cet intervalle. En dehors de cet intervalle, cette composition ne restitue pas nécessairement x, même si cos⁡(arccos⁡y)=y\cos(\arccos y)=y pour tout y de [−1,1][-1,1].

31. Quel est l’intervalle de valeurs de arctan lorsque son argument parcourt R\mathbb{R} ?

]−π2,π2[]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[
R\mathbb{R}
[−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
[0,π][0,\pi]

$$]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$$

Explication

La tangente restreinte à ]−π2,π2[]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ est une bijection vers R\mathbb{R}, et arctan en est la réciproque. Son image est donc l’intervalle ouvert indiqué, et non l’intervalle fermé qui inclurait ses bornes.

32. Quelle expression définit le sinus hyperbolique sh(x) pour tout réel x ?

e2x−e−2x2\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}
ex−e−xe^x-e^{-x}
ex−e−x2\frac{e^x-e^{-x}}{2}
ex+e−x2\frac{e^x+e^{-x}}{2}

$$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

Explication

Le sinus hyperbolique est la demi-différence entre exe^x et e−xe^{-x}. La demi-somme définit le cosinus hyperbolique, ce qui constitue une confusion fréquente entre ces deux fonctions.

33. Quelle propriété décrit correctement le sinus hyperbolique sh sur R\mathbb{R} ?

Il est bijectif de [0,+∞[[0,+\infty[ sur [1,+∞[[1,+\infty[ et vérifie sh⁡(−x)=sh⁡(x)\operatorname{sh}(-x)=\operatorname{sh}(x).
Il est bijectif de R\mathbb{R} sur [1,+∞[[1,+\infty[ et vérifie sh⁡(−x)=sh⁡(x)\operatorname{sh}(-x)=\operatorname{sh}(x).
Il a pour image [−1,1][-1,1] et vérifie sh⁡(−x)=−sh⁡(x)\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}(x).
Il est bijectif de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R} et vérifie sh⁡(−x)=−sh⁡(x)\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}(x).

Il est bijectif de $$\mathbb{R}$$ sur $$\mathbb{R}$$ et vérifie $$\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}(x)$$.

Explication

Le sinus hyperbolique est une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R} et c’est une fonction impaire. La symétrie sh⁡(−x)=sh⁡(x)\operatorname{sh}(-x)=\operatorname{sh}(x) appartient au cosinus hyperbolique, qui est pair.

34. Un réel y est l’image d’un réel par ch. Que peut-on conclure sur y ?

y∈Ry\in\mathbb{R}, et chaque valeur réelle est atteinte une fois par ch restreinte à [0,+∞[[0,+\infty[.
y∈[−1,1]y\in[-1,1], et chaque valeur de cet intervalle est atteinte une fois par ch restreinte à [0,+∞[[0,+\infty[.
y≥0y\geq 0, et chaque valeur de [0,+∞[[0,+\infty[ est atteinte une fois par ch restreinte à [0,+∞[[0,+\infty[.
y≥1y\geq 1, et chaque valeur de [1,+∞[[1,+\infty[ est atteinte une fois par ch restreinte à [0,+∞[[0,+\infty[.

$$y\geq 1$$, et chaque valeur de $$[1,+\infty[$$ est atteinte une fois par ch restreinte à $$[0,+\infty[$$.

Explication

Le cosinus hyperbolique a pour image [1,+∞[[1,+\infty[, et sa restriction à [0,+∞[[0,+\infty[ est bijective vers cet intervalle. La borne inférieure 0 est insuffisante, car ch ne prend aucune valeur entre 0 et 1.

35. Quelle formule donne la fonction réciproque argsh pour un réel y ?

argsh⁡(y)=ln⁡(y+y2+1)\operatorname{argsh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2+1})
argsh⁡(y)=ln⁡(y2+1−y)\operatorname{argsh}(y)=\ln(\sqrt{y^2+1}-y)
argsh⁡(y)=ln⁡(y+y2−1)\operatorname{argsh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2-1})
argsh⁡(y)=ln⁡(y+y2)\operatorname{argsh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2})

$$\operatorname{argsh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$$

Explication

La réciproque du sinus hyperbolique est définie sur R\mathbb{R} par argsh⁡(y)=ln⁡(y+y2+1)\operatorname{argsh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^2+1}). La formule avec y2−1y^2-1 correspond à argch et impose un domaine différent.

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Qu’associe une fonction réelle à chaque élément de son domaine de définition ?

Un unique élément de son ensemble d’arrivée.

Pour quelle condition xx est-il un antécédent de yy par ff ?

f(x)=yf(x)=y, avec xx dans le domaine de définition.

Comment définir l’image de la fonction ff ?

L’ensemble des valeurs f(x)f(x) lorsque xx parcourt son domaine de définition.

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