Fiche de révision : Formulaire de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Trigonométrie et identités usuelles
2. Fonctions hyperboliques
3. Fonctions trigonométriques réciproques
4. Fonctions hyperboliques réciproques
5. Sommes et identités algébriques
6. Primitives usuelles

📖 1. Trigonométrie et identités usuelles

★ À maîtriser

• Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur ℝ, prennent leurs valeurs dans [−1,1] et sont 2π-périodiques ; la tangente est définie sur ℝ privé des nombres π/2+kπ, prend ses valeurs dans ℝ et est π-périodique.

📐 Formule - Les identités fondamentales sont $\cos^2 x+\sin^2 x=1$, $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ et $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$.

📐 Formule - Les formules d’angle double sont $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ et $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$.

Compléments

📐 Formule - Les formules d’addition sont $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$, $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$, $\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\frac12$ et $\lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1$.

📖 2. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Les fonctions hyperboliques sont définies par $\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2$, $\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ et $\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$.

★ À maîtriser

• La fonction sh prend ses valeurs dans ℝ, ch dans [1,+∞[ et th dans ]−1,1[.

📐 Formule - L’identité fondamentale hyperbolique est $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$, et $\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}$.

Compléments

📐 Formule - Les formules d’angle double sont $\operatorname{sh}2x=2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x$, $\operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x$ et $\operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}$.

📐 Formule - Les fonctions hyperboliques sont dérivables sur ℝ et vérifient $\operatorname{sh}'x=\operatorname{ch}x$, $\operatorname{ch}'x=\operatorname{sh}x$ et $\operatorname{th}'x=1-\operatorname{th}^2x=\frac1{\operatorname{ch}^2x}$.

💡 Astuce mémo

Le cosinus hyperbolique est pair et ≥ 1, tandis que le sinus hyperbolique est impair et parcourt ℝ.

📖 3. Fonctions trigonométriques réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : L’arcsinus est la réciproque de la restriction de sin à [−π/2,π/2] ; il est défini de [−1,1] vers [−π/2,π/2].
• Arccosinus : L’arccosinus est la réciproque de la restriction de cos à [0,π] ; il est défini de [−1,1] vers [0,π].
• Arctangente : L’arctangente est la réciproque de la restriction de tan à ]−π/2,π/2[ ; elle est définie de ℝ vers ]−π/2,π/2[.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour x∈]−1,1[, $\operatorname{arcsin}'x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Pour x∈]−1,1[, $\operatorname{arccos}'x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\operatorname{arctan}'x=\frac1{1+x^2}$.

📖 4. Fonctions hyperboliques réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument sinus hyperbolique : L’argument sinus hyperbolique argsh est la réciproque de sh, définie de ℝ vers ℝ, et $\operatorname{argsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$.
• Argument cosinus hyperbolique : L’argument cosinus hyperbolique argch est la réciproque de la restriction de ch à [0,+∞[ ; il est défini de [1,+∞[ vers [0,+∞[ et $\operatorname{argch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ pour x≥1.
• Argument tangente hyperbolique : L’argument tangente hyperbolique argth est la réciproque de th, définie de ]−1,1[ vers ℝ, et $\operatorname{argth}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout réel x, $\operatorname{argsh}'x=\frac1{\sqrt{x^2+1}}$.

📐 Formule - Pour x>1, $\operatorname{argch}'x=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$.

📐 Formule - Pour x∈]−1,1[, $\operatorname{argth}'x=\frac1{1-x^2}$.

📖 5. Sommes et identités algébriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des premiers termes d’une progression géométrique vaut $\sum_{k=0}^{n}q^k=n+1$ si q=1, et $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si q≠1.

📐 Formule - Pour a,b∈ℂ et n≥1, $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$.

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$, avec $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ et $n!=\prod_{k=1}^{n}k$.

Compléments

📐 Formule - La somme des n premiers entiers est $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$.

📐 Formule - Pour x∉2πℤ, $\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$ et $\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)=\frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$ ; si x∈2πℤ, ces sommes valent respectivement n+1 et 0.

📖 6. Primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Les primitives trigonométriques usuelles sont $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ et $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$.

Compléments

📐 Formule - Les primitives hyperboliques usuelles sont $\int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C$, $\int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C$ et $\int\operatorname{th}x\,dx=\ln(\operatorname{ch}x)+C$.

📐 Formule - Les primitives des dérivées réciproques comprennent $\int\frac{dx}{1+x^2}=\operatorname{arctan}x+C$, $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\operatorname{arcsin}x+C$ et $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\operatorname{argsh}x+C$, sur leurs domaines de définition.