Flashcards : Formulaire de mathématiques (46 cartes)

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1Question

Sur quel ensemble la tangente est-elle définie, et quelles valeurs prend-elle ?

Réponse

Elle est définie sur R∖{π2+kπ∣k∈Z}\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\} et prend ses valeurs dans R\mathbb{R}.

2Question

Quelle est la période de la tangente ?

Réponse

π\pi.

3Question

Quelle identité relie le carré du cosinus et celui du sinus ?

Réponse

cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1.

4Question

Quelle formule donne tan⁡x\tan x à partir du sinus et du cosinus ?

Réponse

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.

5Question

Quelle est la formule de l’angle double pour sin⁡2x\sin 2x ?

Réponse

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x.

6Question

Quelles formes équivalentes donnent cos⁡2x\cos 2x ?

Réponse

cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x.

7Question

Quelles expressions définissent sh⁡x\operatorname{sh}x, ch⁡x\operatorname{ch}x et th⁡x\operatorname{th}x ?

Réponse

sh⁡x=ex−e−x2\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2, ch⁡x=ex+e−x2\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2 et th⁡x=ex−e−xex+e−x\operatorname{th}x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.

8Question

Dans quels ensembles prennent leurs valeurs sh⁡\operatorname{sh}, ch⁡\operatorname{ch} et th⁡\operatorname{th} ?

Réponse

sh⁡\operatorname{sh} prend ses valeurs dans R\mathbb{R}, ch⁡\operatorname{ch} dans [1,+∞[[1,+\infty[ et th⁡\operatorname{th} dans ]−1,1[]-1,1[ .

9Question

Quelle est l’identité fondamentale hyperbolique ?

Réponse

ch⁡2x−sh⁡2x=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1.

10Question

Quelle relation exprime th⁡x\operatorname{th}x avec sh⁡x\operatorname{sh}x et ch⁡x\operatorname{ch}x ?

Réponse

th⁡x=sh⁡xch⁡x\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}.

11Question

Quelle est la fonction réciproque de la restriction du sinus à [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] ?

Réponse

L’arcsinus.

12Question

Quel est l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée de l’arcsinus ?

Réponse

De [−1,1][-1,1] vers [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].

13Question

Quelle est la fonction réciproque de la restriction du cosinus à [0,π][0,\pi] ?

Réponse

L’arccosinus.

14Question

Quel est l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée de l’arccosinus ?

Réponse

De [−1,1][-1,1] vers [0,π][0,\pi].

15Question

Quelle fonction est la réciproque de sh et quelle formule définit argsh sur ℝ ?

Réponse

argsh⁡x=ln⁡(x+x2+1)\operatorname{argsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}).

16Question

Quelle fonction est la réciproque de ch restreinte à [0,+∞[ ?

Réponse

argch.

17Question

Quel est l’ensemble de départ d’argch ?

Réponse

[1,+∞[.

18Question

Quelle formule définit argch pour x≥1 ?

Réponse

argch⁡x=ln⁡(x+x2−1)\operatorname{argch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}).

19Question

Quelle est la somme de qkq^k pour k=0,...nk=0,{...}n lorsque q=1q=1 ?

Réponse

n+1n+1.

20Question

Quelle est la somme de qkq^k pour k=0,...nk=0,{...}n lorsque q≠1q\ne1 ?

Réponse

1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

21Question

Quelle identité exprime an−bna^n-b^n pour a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} et n≥1n\ge1 ?

Réponse

an−bn=(a−b)∑k=0n−1an−1−kbka^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k.

22Question

Quelle formule donne le développement de (a+b)n (a+b)^n selon le binôme de Newton ?

Réponse

(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}.

23Question

Quelle formule définit (nk)\binom{n}{k} dans le binôme de Newton ?

Réponse

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

24Question

Comment définit-on n!n! dans le binôme de Newton ?

Réponse

n!=∏k=1nkn!=\prod_{k=1}^{n}k.

25Question

Quelles sont les formules d’addition du sinus, du cosinus et de la tangente ?

Réponse

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a, cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b et tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

26Question

Quelles sont les limites usuelles de sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, 1−cos⁡hh2\frac{1-\cos h}{h^2} et tan⁡hh\frac{\tan h}{h} quand h→0h\to0 ?

Réponse

Elles valent respectivement 11, 12\frac12 et 11.

27Question

Quelle est la formule d’angle double pour sh⁡2x\operatorname{sh}2x ?

Réponse

sh⁡2x=2sh⁡xch⁡x\operatorname{sh}2x=2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x.

28Question

Quelles expressions donnent ch⁡2x\operatorname{ch}2x en fonction de ch⁡x\operatorname{ch}x ou sh⁡x\operatorname{sh}x ?

Réponse

ch⁡2x=2ch⁡2x−1=1+2sh⁡2x\operatorname{ch}2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x.

29Question

Quelle est la formule d’angle double pour th⁡2x\operatorname{th}2x ?

Réponse

th⁡2x=2th⁡x1+th⁡2x\operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}.

30Question

Quelles sont les dérivées de sh⁡x\operatorname{sh}x, ch⁡x\operatorname{ch}x et th⁡x\operatorname{th}x ?

Réponse

sh⁡′x=ch⁡x\operatorname{sh}'x=\operatorname{ch}x, ch⁡′x=sh⁡x\operatorname{ch}'x=\operatorname{sh}x et th⁡′x=1−th⁡2x=1ch⁡2x\operatorname{th}'x=1-\operatorname{th}^2x=\frac1{\operatorname{ch}^2x}.

31Question

Quelle est la dérivée de l’arcsinus pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[ ?

Réponse

11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

32Question

Quelle est la dérivée de l’arccosinus pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[ ?

Réponse

−11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

33Question

Quelle est la fonction réciproque de la restriction de la tangente à ]−π2,π2[]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ ?

Réponse

L’arctangente.

34Question

Quelle est la dérivée de arctan⁡x\operatorname{arctan} x pour tout réel xx ?

Réponse

11+x2\frac{1}{1+x^2}

35Question

Quelle est la dérivée de argsh en tout réel x ?

Réponse

argsh⁡′x=1x2+1\operatorname{argsh}'x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.

36Question

Quelle est la dérivée de argch pour x>1 ?

Réponse

argch⁡′x=1x2−1\operatorname{argch}'x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.

37Question

Quelle formule définit argth sur ]−1,1[ ?

Réponse

argth⁡x=12ln⁡(1+x1−x)\operatorname{argth}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

38Question

Quelle est la dérivée de argth pour x∈]−1,1[ ?

Réponse

argth⁡′x=11−x2\operatorname{argth}'x=\frac{1}{1-x^2}.

39Question

Quelle formule donne la somme des nn premiers entiers ?

Réponse

n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.

40Question

Quelle est la somme de cos⁡(kx)\cos(kx) pour k=0,…,nk=0,\ldots,n si x∉2πZx\notin2\pi\mathbb{Z} ?

Réponse

cos⁡(nx/2)sin⁡((n+1)x/2)sin⁡(x/2)\frac{\cos(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}.

41Question

Quelle est une primitive de sh⁡x\operatorname{sh}x ?

Réponse

ch⁡x+C\operatorname{ch}x+C

42Question

Quelle est une primitive de ch⁡x\operatorname{ch}x ?

Réponse

sh⁡x+C\operatorname{sh}x+C

43Question

Quelle est une primitive de th⁡x\operatorname{th}x ?

Réponse

ln⁡(ch⁡x)+C\ln(\operatorname{ch}x)+C

44Question

Quelle est une primitive de 11+x2\frac{1}{1+x^2} ?

Réponse

arctan⁡x+C\operatorname{arctan}x+C

45Question

Quelle est une primitive de 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ?

Réponse

arcsin⁡x+C\operatorname{arcsin}x+C

46Question

Quelle est une primitive de sin⁡x\sin x ?

Réponse

−cos⁡x+C-\cos x+C

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Formulaire de mathématiques.

1. En utilisant la factorisation de la différence de puissances, quel facteur multiplie a−ba-b dans a4−b4a^4-b^4 ?

2. Pour déterminer l’image inverse de −1-1 par la restriction de la fonction sinus qui est bijective, dans quel intervalle faut-il chercher l’angle ?

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