QCM : Formulaire de mathématiques (15 questions)

Question 1

1. En utilisant la factorisation de la différence de puissances, quel facteur multiplie $a-b$ dans $a^4-b^4$ ?

a^3+a^2b+ab^2+b^3

a^4+b^4

a^3-b^3

a^3+a^2b+b^3

Explication

La formule donne $a^4-b^4=(a-b)\sum_{k=0}^{3}a^{3-k}b^k$ , soit le facteur $a^3+a^2b+ab^2+b^3$ . $a^3-b^3$ conserve à tort une soustraction, le facteur sans $ab^2$ omet un terme, et $a^4+b^4$ confond les puissances initiales et le signe.

Answer

$$a^3+a^2b+ab^2+b^3$$

Question 2

2. Pour déterminer l’image inverse de $-1$ par la restriction de la fonction sinus qui est bijective, dans quel intervalle faut-il chercher l’angle ?

[-1,1]

[0,\pi]

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

Explication

L’arcsinus est définie de $[-1,1]$ vers $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , qui est l’intervalle de recherche de l’angle. $[-1,1]$ est son domaine, tandis que $[0,\pi]$ est l’intervalle principal de l’arccosinus.

Answer

$$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$

Question 3

3. Dans le développement de $(x+y)^5$ selon le binôme de Newton, quel est le coefficient de $x^2y^3$ ?

5

6

10

20

Explication

Le coefficient recherché est $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=10$ . Le résultat $5$ correspond à une confusion avec un exposant, $20$ est le coefficient de $x^3y^2$ , et $6$ ne correspond pas au coefficient binomial visé.

Answer

$$\operatorname{argsh}x+C$$

Answer

$$[0,\pi]$$

Answer

$$\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Answer

$$\ln(3+\sqrt{10})$$

Answer

$$\frac{25}{16}$$

Answer

Dans $$[1,+\infty[$$

Answer

Le sinus et le cosinus sont de période $$2\pi$$, et la tangente de période $$\pi$$.

Answer

$$-\ln|\cos x|+C$$

Answer

$$y\in[0,+\infty[\ ;\ y=\ln(2+\sqrt{3})$$

Answer

$$\sqrt{5}$$

Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 4

4. Pour $x\in\mathbb R$ , quelle est une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ?

\operatorname{arctan}x+C

\operatorname{argsh}x+C

\operatorname{arcsin}x+C

\operatorname{argch}x+C

Explication

Sur $\mathbb R$ , la primitive de $1/\sqrt{x^2+1}$ est $\operatorname{argsh}x+C$ , puisque la dérivée de l’argument sinus hyperbolique vaut cet intégrande. $\operatorname{arctan}x$ correspond à $1/(1+x^2)$ , $\operatorname{arcsin}x$ à une racine $1-x^2$ , et $\operatorname{argch}x$ à une racine $x^2-1$ .

Question 5

5. Un angle $\theta$ est choisi dans l’intervalle où le cosinus est bijectif et vérifie $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ . Dans quel intervalle se trouve nécessairement $\theta$ ?

[-1,1]

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

[0,\pi]

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Explication

L’arccosinus est la réciproque du cosinus restreint à $[0,\pi]$ et prend ses valeurs dans cet intervalle. $[-1,1]$ correspond au domaine de l’arccosinus, tandis que les intervalles centrés sur zéro sont associés à l’arcsinus ou à l’arctangente.

Question 6

6. Quelle expression définit la tangente hyperbolique $\operatorname{th}x$ à partir des exponentielles ?

\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}

\frac{e^x+e^{-x}}{2}

\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

\frac{e^{-x}-e^x}{e^x+e^{-x}}

Explication

Par définition, $\operatorname{th}x=\operatorname{sh}x/\operatorname{ch}x$ , soit le quotient de la différence des exponentielles par leur somme. La somme divisée par 2 définit $\operatorname{ch}x$ ; les autres expressions inversent le signe ou le quotient.

Question 7

7. Pour retrouver le réel dont le sinus hyperbolique vaut $3$ , quelle expression fournit l’argument sinus hyperbolique de $3$ ?

\ln(3+\sqrt{8})

\ln(3-\sqrt{10})

\ln(3+\sqrt{10})

\frac{1}{2}\ln(2)

Explication

Comme $\operatorname{argsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ , on obtient pour $x=3$ : $\ln(3+\sqrt{3^2+1})=\ln(3+\sqrt{10})$ . Le terme $x^2-1$ appartient à la formule de l’argch, et la formule logarithmique de l’argth est différente.

Question 8

8. Pour un réel $x$ tel que $\cos x\ne0$ , on sait que $\tan x=\frac{3}{4}$ . Quelle est la valeur de $1+\tan^2x$ ?

\frac{25}{9}

\frac{25}{16}

\frac{9}{16}

\frac{13}{16}

Explication

L’identité donne $1+\tan^2x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$ , ce qui équivaut aussi à $1/\cos^2x$ . $9/16$ omet le terme 1, $13/16$ ne l’ajoute pas correctement, et $25/9$ inverse le rapport.

Question 9

9. Une mesure doit être modélisée par une valeur de $\operatorname{ch}x$ pour un réel $x$ . Dans quel ensemble cette valeur peut-elle se trouver ?

Dans

[1,+\infty[

Dans

]0,+\infty[

Dans

]-1,1[

Dans

\mathbb{R}

Explication

Pour tout réel, $\operatorname{ch}x$ prend ses valeurs dans $[1,+\infty[$ . $\mathbb{R}$ correspond à l’image de $\operatorname{sh}$ , $]-1,1[$ à celle de $\operatorname{th}$ , tandis que $]0,+\infty[$ inclut à tort des valeurs entre 0 et 1.

Question 10

10. Un angle réel $x$ est remplacé par $x+2\pi$ . Quelle propriété permet d’affirmer que le sinus et le cosinus gardent leur valeur, tandis que la tangente a pour période $\pi$ ?

Le sinus et le cosinus sont de période

\pi

, et la tangente de période

2\pi

.

Les trois fonctions sont de période

\pi

.

Les trois fonctions sont de période

2\pi

.

Le sinus et le cosinus sont de période

2\pi

, et la tangente de période

\pi

.

Explication

Le sinus et le cosinus sont $2\pi$ -périodiques, alors que la tangente est $\pi$ -périodique. La période $\pi$ pour le sinus et le cosinus les confond avec celle de la tangente; les périodes communes proposées attribuent une période erronée à au moins une fonction.

Question 11

11. Pour une progression géométrique de raison $q=2$ , quelle est la somme $\sum_{k=0}^{3}2^k$ ?

30

4

14

15

Explication

Pour $q\ne1$ , la somme vaut $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ; ici $\frac{1-2^4}{1-2}=15$ . La réponse $4$ confond avec le cas $q=1$ , $14$ omet le terme initial, et $30$ double la somme.

Question 12

12. Une fonction dérivable sur un intervalle où la tangente est définie a pour dérivée $f'(x)=\tan x$ . Quelle expression peut être choisie pour $f(x)$ ?

\sin x+C

-\cos x+C

-\ln|\cos x|+C

\ln|\cos x|+C

Explication

Comme $\frac{d}{dx}\ln|\cos x|=-\tan x$ , une primitive de $\tan x$ est $-\ln|\cos x|+C$ . $-\cos x$ est une primitive de $\sin x$ , $\sin x$ est une primitive de $\cos x$ , et $\ln|\cos x|$ a la dérivée opposée.

Question 13

13. Un réel $y$ est obtenu en appliquant l’argument cosinus hyperbolique à $x=2$ . Dans quel intervalle doit se trouver $y$ , et quelle formule permet de le calculer ?

y\in[0,+\infty[\ ;\ y=\ln(2+\sqrt{5})

y\in[1,+\infty[\ ;\ y=\ln(2+\sqrt{3})

y\in[0,+\infty[\ ;\ y=\ln(2+\sqrt{3})

y\in\mathbb{R}\ ;\ y=\ln(2+\sqrt{3})

Explication

L’argch est définie de $[1,+\infty[$ vers $[0,+\infty[$ , et sa formule donne $\operatorname{argch}(2)=\ln(2+\sqrt{2^2-1})=\ln(2+\sqrt{3})$ . $[1,+\infty[$ est le domaine d’entrée, tandis que $\sqrt{x^2+1}$ correspond à la formule de l’argsh.

Question 14

14. Pour un réel $x$ , on connaît $\operatorname{sh}x=2$ et $\operatorname{ch}x>0$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{ch}x$ ?

\sqrt{5}

\sqrt{6}

\sqrt{3}

-\sqrt{5}

Explication

L’identité $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$ donne $\operatorname{ch}^2x=1+2^2=5$ ; la condition $\operatorname{ch}x>0$ impose $\sqrt{5}$ . $\sqrt{3}$ résulte d’une différence incorrecte, et $-\sqrt{5}$ ne respecte pas la positivité.

Question 15

15. Pour un angle $x$ tel que $\tan x=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on avec la formule d’angle double de la tangente ?

\frac{3}{2}

\frac{1}{6}

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

Explication

La formule donne $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}=\frac{2/3}{1-1/9}=\frac{2/3}{8/9}=\frac{3}{4}$ . $1/6$ omet le dénominateur, $3/2$ change le signe de celui-ci, et $4/3$ inverse le résultat.

QCM : Formulaire de mathématiques (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En utilisant la factorisation de la différence de puissances, quel facteur multiplie $a-b$ dans $a^4-b^4$ ?

2. Pour déterminer l’image inverse de $-1$ par la restriction de la fonction sinus qui est bijective, dans quel intervalle faut-il chercher l’angle ?

3. Dans le développement de $(x+y)^5$ selon le binôme de Newton, quel est le coefficient de $x^2y^3$ ?

4. Pour $x\in\mathbb R$ , quelle est une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ?

5. Un angle $\theta$ est choisi dans l’intervalle où le cosinus est bijectif et vérifie $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ . Dans quel intervalle se trouve nécessairement $\theta$ ?

6. Quelle expression définit la tangente hyperbolique $\operatorname{th}x$ à partir des exponentielles ?

7. Pour retrouver le réel dont le sinus hyperbolique vaut $3$ , quelle expression fournit l’argument sinus hyperbolique de $3$ ?

8. Pour un réel $x$ tel que $\cos x\ne0$ , on sait que $\tan x=\frac{3}{4}$ . Quelle est la valeur de $1+\tan^2x$ ?

9. Une mesure doit être modélisée par une valeur de $\operatorname{ch}x$ pour un réel $x$ . Dans quel ensemble cette valeur peut-elle se trouver ?

10. Un angle réel $x$ est remplacé par $x+2\pi$ . Quelle propriété permet d’affirmer que le sinus et le cosinus gardent leur valeur, tandis que la tangente a pour période $\pi$ ?

11. Pour une progression géométrique de raison $q=2$ , quelle est la somme $\sum_{k=0}^{3}2^k$ ?

12. Une fonction dérivable sur un intervalle où la tangente est définie a pour dérivée $f'(x)=\tan x$ . Quelle expression peut être choisie pour $f(x)$ ?

13. Un réel $y$ est obtenu en appliquant l’argument cosinus hyperbolique à $x=2$ . Dans quel intervalle doit se trouver $y$ , et quelle formule permet de le calculer ?

14. Pour un réel $x$ , on connaît $\operatorname{sh}x=2$ et $\operatorname{ch}x>0$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{ch}x$ ?

15. Pour un angle $x$ tel que $\tan x=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on avec la formule d’angle double de la tangente ?

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QCM : Formulaire de mathématiques (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. En utilisant la factorisation de la différence de puissances, quel facteur multiplie a−ba-ba−b dans a4−b4a^4-b^4a4−b4 ?

2. Pour déterminer l’image inverse de −1-1−1 par la restriction de la fonction sinus qui est bijective, dans quel intervalle faut-il chercher l’angle ?

3. Dans le développement de (x+y)5 (x+y)^5 (x+y)5 selon le binôme de Newton, quel est le coefficient de x2y3x^2y^3x2y3 ?

4. Pour x∈Rx\in\mathbb Rx∈R, quelle est une primitive de 1x2+1\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}x2+1​1​ ?

5. Un angle θ\thetaθ est choisi dans l’intervalle où le cosinus est bijectif et vérifie cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac{1}{2}cosθ=−21​. Dans quel intervalle se trouve nécessairement θ\thetaθ ?

6. Quelle expression définit la tangente hyperbolique th⁡x\operatorname{th}xthx à partir des exponentielles ?

7. Pour retrouver le réel dont le sinus hyperbolique vaut 333, quelle expression fournit l’argument sinus hyperbolique de 333 ?

8. Pour un réel xxx tel que cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0, on sait que tan⁡x=34\tan x=\frac{3}{4}tanx=43​. Quelle est la valeur de 1+tan⁡2x1+\tan^2x1+tan2x ?

9. Une mesure doit être modélisée par une valeur de ch⁡x\operatorname{ch}xchx pour un réel xxx. Dans quel ensemble cette valeur peut-elle se trouver ?

10. Un angle réel xxx est remplacé par x+2πx+2\pix+2π. Quelle propriété permet d’affirmer que le sinus et le cosinus gardent leur valeur, tandis que la tangente a pour période π\piπ ?

11. Pour une progression géométrique de raison q=2q=2q=2, quelle est la somme ∑k=032k\sum_{k=0}^{3}2^k∑k=03​2k ?

12. Une fonction dérivable sur un intervalle où la tangente est définie a pour dérivée f′(x)=tan⁡xf'(x)=\tan xf′(x)=tanx. Quelle expression peut être choisie pour f(x)f(x)f(x) ?

13. Un réel yyy est obtenu en appliquant l’argument cosinus hyperbolique à x=2x=2x=2. Dans quel intervalle doit se trouver yyy, et quelle formule permet de le calculer ?

14. Pour un réel xxx, on connaît sh⁡x=2\operatorname{sh}x=2shx=2 et ch⁡x>0\operatorname{ch}x>0chx>0. Quelle est la valeur de ch⁡x\operatorname{ch}xchx ?

15. Pour un angle xxx tel que tan⁡x=13\tan x=\frac{1}{3}tanx=31​, quelle valeur obtient-on avec la formule d’angle double de la tangente ?

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1. En utilisant la factorisation de la différence de puissances, quel facteur multiplie $a-b$ dans $a^4-b^4$ ?

2. Pour déterminer l’image inverse de $-1$ par la restriction de la fonction sinus qui est bijective, dans quel intervalle faut-il chercher l’angle ?

3. Dans le développement de $(x+y)^5$ selon le binôme de Newton, quel est le coefficient de $x^2y^3$ ?

4. Pour $x\in\mathbb R$ , quelle est une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ?

5. Un angle $\theta$ est choisi dans l’intervalle où le cosinus est bijectif et vérifie $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ . Dans quel intervalle se trouve nécessairement $\theta$ ?

6. Quelle expression définit la tangente hyperbolique $\operatorname{th}x$ à partir des exponentielles ?

7. Pour retrouver le réel dont le sinus hyperbolique vaut $3$ , quelle expression fournit l’argument sinus hyperbolique de $3$ ?

8. Pour un réel $x$ tel que $\cos x\ne0$ , on sait que $\tan x=\frac{3}{4}$ . Quelle est la valeur de $1+\tan^2x$ ?

9. Une mesure doit être modélisée par une valeur de $\operatorname{ch}x$ pour un réel $x$ . Dans quel ensemble cette valeur peut-elle se trouver ?

10. Un angle réel $x$ est remplacé par $x+2\pi$ . Quelle propriété permet d’affirmer que le sinus et le cosinus gardent leur valeur, tandis que la tangente a pour période $\pi$ ?

11. Pour une progression géométrique de raison $q=2$ , quelle est la somme $\sum_{k=0}^{3}2^k$ ?

12. Une fonction dérivable sur un intervalle où la tangente est définie a pour dérivée $f'(x)=\tan x$ . Quelle expression peut être choisie pour $f(x)$ ?

13. Un réel $y$ est obtenu en appliquant l’argument cosinus hyperbolique à $x=2$ . Dans quel intervalle doit se trouver $y$ , et quelle formule permet de le calculer ?

14. Pour un réel $x$ , on connaît $\operatorname{sh}x=2$ et $\operatorname{ch}x>0$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{ch}x$ ?

15. Pour un angle $x$ tel que $\tan x=\frac{1}{3}$ , quelle valeur obtient-on avec la formule d’angle double de la tangente ?