QCM : Limites de fonctions (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie de part et d’autre de x0x_0, on étudie sa limite lorsque xx s’approche de x0x_0 en restant supérieur à cette valeur. Quelle limite unilatérale décrit ce comportement ?

La limite à droite en x0x_0
La limite bilatérale en x0x_0
La limite de la fonction en +∞+\infty
La limite à gauche en x0x_0

La limite à droite en $$x_0$$

Explication

La limite à droite décrit le comportement lorsque x>x0x>x_0 et que xx s’approche de x0x_0. La limite à gauche concerne x<x0x<x_0, la limite bilatérale réunit les deux côtés, et une limite en +∞+\infty concerne des valeurs de xx arbitrairement grandes.

2. Une fonction a pour limite 44 à gauche de x0x_0 et pour limite 44 à droite de x0x_0. Que peut-on conclure sur sa limite en x0x_0 ?

Sa limite en x0x_0 vaut la valeur de la fonction en x0x_0
Sa limite en x0x_0 n’existe pas
Sa limite en x0x_0 vaut 44
Sa limite en x0x_0 vaut 88

Sa limite en $$x_0$$ vaut $$4$$

Explication

La limite en un point existe et vaut ℓ\ell si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et valent toutes deux ℓ\ell. La continuité n’est pas requise, et les limites latérales ne s’additionnent pas.

3. Près de x0x_0, une fonction dépasse tout seuil positif AA dès que xx est assez proche de x0x_0, avec x≠x0x\ne x_0. Quelle limite cela caractérise-t-il ?

Une limite finie en x0x_0
Une limite égale à −∞-\infty en x0x_0
Une limite égale à +∞+\infty en +∞+\infty
Une limite égale à +∞+\infty en x0x_0

Une limite égale à $$+\infty$$ en $$x_0$$

Explication

Une limite égale à +∞+\infty en x0x_0 signifie que, pour tout A>0A>0, la fonction devient supérieure à AA lorsque x≠x0x\ne x_0 est assez proche de x0x_0. La divergence négative impose une borne inférieure de la forme −A-A, tandis qu’une limite en +∞+\infty porte sur des valeurs de xx grandes.

4. Pour tout A>0A>0, il existe un seuil B>0B>0 tel que f(x)>Af(x)>A dès que x>Bx>B. Quel comportement de ff cette condition exprime-t-elle ?

ff tend vers +∞+\infty lorsque x→−∞x\to-\infty
ff tend vers −∞-\infty lorsque x→+∞x\to+\infty
ff tend vers +∞+\infty lorsque x→+∞x\to+\infty
ff tend vers une limite finie lorsque x→+∞x\to+\infty

$$f$$ tend vers $$+\infty$$ lorsque $$x\to+\infty$$

Explication

En +∞+\infty, tendre vers +∞+\infty signifie que la fonction dépasse tout seuil positif dès que xx est suffisamment grand. La divergence vers −∞-\infty impose au contraire f(x)<−Af(x)<-A, une limite finie maintient f(x)f(x) près d’une valeur, et le comportement en −∞-\infty concerne des valeurs négatives de grande valeur absolue.

5. Que signifie la condition nécessaire pour que le quotient de deux fonctions tende vers le quotient de leurs limites en un point ?

Les limites du numérateur et du dénominateur sont toutes deux nulles, mais le dénominateur reste non nul près du point.
La limite du dénominateur est non nulle et celui-ci ne s’annule pas près du point, sauf éventuellement en ce point.
La limite du numérateur est non nulle et celui-ci ne s’annule pas près du point, sauf éventuellement en ce point.
Le dénominateur reste borné près du point, même si sa limite est nulle.

La limite du dénominateur est non nulle et celui-ci ne s’annule pas près du point, sauf éventuellement en ce point.

Explication

Pour obtenir la limite du quotient comme quotient des limites, la limite du dénominateur doit être non nulle et le dénominateur ne doit pas s’annuler au voisinage du point, hors de celui-ci. Un dénominateur de limite nulle ne satisfait pas cette condition, même s’il ne s’annule pas près du point.

6. Quelle propriété caractérise la convergence de f vers ℓ en x₀ à l’aide des suites ?

Toute suite de points du domaine convergeant vers x₀ donne des images par f qui convergent vers f(x₀).
Pour toute suite de points du domaine, distincts de x₀ et convergeant vers x₀, les images par f convergent vers ℓ.
Il existe une suite de points du domaine convergeant vers x₀ dont les images par f convergent vers ℓ.
Pour toute suite d’images convergeant vers ℓ, les points correspondants du domaine convergent vers x₀.

Pour toute suite de points du domaine, distincts de x₀ et convergeant vers x₀, les images par f convergent vers ℓ.

Explication

La caractérisation séquentielle affirme que la limite de f en x₀ vaut ℓ si et seulement si toutes les suites de points du domaine, distincts de x₀ et convergeant vers x₀, ont des images qui convergent vers ℓ. L’existence d’une seule suite convenable ne suffit pas à établir cette limite.

7. Quel est le rôle du théorème d’encadrement pour déterminer la limite d’une fonction ?

Établir la limite d’une fonction comprise entre deux fonctions ayant la même limite.
Déduire le signe d’une fonction à partir d’une limite strictement positive.
Comparer les limites de deux fonctions ordonnées sur leur domaine.
Déduire la limite d’un produit à partir d’une fonction bornée et d’une fonction tendant vers zéro.

Établir la limite d’une fonction comprise entre deux fonctions ayant la même limite.

Explication

Le théorème d’encadrement permet de conclure que la fonction intermédiaire tend vers la limite commune des deux fonctions qui la bornent. La comparaison de fonctions ordonnées donne plutôt une relation entre leurs limites, sans établir à elle seule une limite commune.

8. Quelle comparaison distingue le comportement de exe^x lorsque xx tend vers −∞-\infty de celui de ln⁡x\ln x lorsque xx tend vers 0+0^+ ?

Les deux tendent vers 00, mais exe^x reste positif tandis que ln⁡x\ln x devient négatif sans borne.
Les deux tendent vers −∞-\infty, mais dans des directions opposées.
exe^x tend vers 0+0^+, tandis que ln⁡x\ln x tend vers −∞-\infty.
exe^x tend vers +∞+\infty, tandis que ln⁡x\ln x tend vers 0−0^-.

$$e^x$$ tend vers $$0^+$$, tandis que $$\ln x$$ tend vers $$-\infty$$.

Explication

Quand xx tend vers −∞-\infty, l’exponentielle tend vers zéro par valeurs positives, alors que le logarithme tend vers −∞-\infty lorsque son argument tend vers zéro par valeurs positives. L’idée que les deux tendent vers zéro confond la limite de ln⁡x\ln x avec celle de fonctions logarithmiques normalisées.

9. Quand xx devient très grand, quelle conséquence traduit la comparaison entre la croissance de exe^x et celle de xx ?

Le quotient exx\frac{e^x}{x} tend vers 11, car les deux fonctions ont des croissances équivalentes.
Le quotient exx\frac{e^x}{x} tend vers +∞+\infty, car l’exponentielle croît plus vite que la fonction linéaire.
Le quotient exx\frac{e^x}{x} tend vers une limite finie positive, car les deux fonctions croissent sans borne.
Le quotient exx\frac{e^x}{x} tend vers 00, car la fonction linéaire croît plus vite que l’exponentielle.

Le quotient $$\frac{e^x}{x}$$ tend vers $$+\infty$$, car l’exponentielle croît plus vite que la fonction linéaire.

Explication

L’exponentielle croît plus rapidement que la fonction linéaire, donc leur quotient tend vers +∞+\infty lorsque xx tend vers +∞+\infty. Contrairement à ce que suggère un distracteur, le quotient ne tend pas vers zéro : c’est le logarithme divisé par xx qui tend vers zéro.

10. Pour vérifier que ff tend vers ℓ\ell en x0x_0 à l’aide de la définition, que faut-il pouvoir choisir pour chaque précision ε>0\varepsilon>0 ?

Un rayon δ>0\delta>0 tel que f(x)=ℓf(x)=\ell dès que x∈Dx\in D et 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta
Une précision ε>0\varepsilon>0 telle que ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon pour tout x∈Dx\in D, même loin de x0x_0
Un rayon δ>0\delta>0 tel que ∣x−x0∣<ε|x-x_0|<\varepsilon implique ∣f(x)−ℓ∣<δ|f(x)-\ell|<\delta pour tout x∈Dx\in D
Un rayon δ>0\delta>0 tel que ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon lorsque x∈Dx\in D, x≠x0x\ne x_0 et ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta

Un rayon $$\delta>0$$ tel que $$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$ lorsque $$x\in D$$, $$x\ne x_0$$ et $$|x-x_0|<\delta$$

Explication

La précision demandée sur les valeurs de la fonction se traduit par un voisinage de rayon δ\delta autour de x0x_0, dans lequel l’écart à ℓ\ell est inférieur à ε\varepsilon. La condition d’égalité locale proposée ailleurs est trop forte : une limite n’exige pas que f(x)f(x) soit exactement égale à ℓ\ell.

11. Quelle condition caractérise une limite finie de f lorsque x tend vers +∞ ?

Pour tout ε > 0, |f(x) − ℓ| < ε dès que x est suffisamment grand.
Pour tout A > 0, f(x) > A dès que x est suffisamment grand.
Pour tout A > 0, f(x) < −A dès que x est suffisamment grand.
Pour tout ε > 0, |f(x) − ℓ| < ε dès que x est suffisamment proche d’un point fixé.

Pour tout ε > 0, |f(x) − ℓ| < ε dès que x est suffisamment grand.

Explication

Une limite finie en +∞ signifie que les valeurs de f deviennent aussi proches de ℓ que souhaité lorsque x dépasse un seuil suffisamment grand. La condition de proximité d’un point fixe décrit une limite en un point, et non une limite à l’infini.

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Quelle condition définit la limite de f en x₀ égale à ℓ ?

Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout x de D différent de x₀, |x − x₀| < δ implique |f(x) − ℓ| < ε.

Quelle relation lie les limites latérales à la limite de f en x₀ ?

La limite de f en x₀ vaut ℓ si et seulement si ses limites à gauche et à droite valent toutes deux ℓ.

Que signifie que ff tend vers +∞+\infty en x0x_0 ?

Pour tout A>0A>0, f(x)>Af(x)>A lorsque x≠x0x\ne x_0 est suffisamment proche de x0x_0.

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