Fiche de révision : Limites de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites finies en un point
2. Limites infinies et à l’infini
3. Opérations sur les limites
4. Limites et suites
5. Signe, ordre et encadrement
6. Limites remarquables
7. Croissances comparées

📖 1. Limites finies en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La limite de f en x₀ vaut ℓ si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout x de D différent de x₀, |x − x₀| < δ implique |f(x) − ℓ| < ε.
• Limites latérales : La limite à droite de f en x₀ décrit le comportement de f(x) lorsque x tend vers x₀ avec x > x₀, tandis que la limite à gauche le décrit lorsque x tend vers x₀ avec x < x₀.

★ À maîtriser

📌 La limite de f en x₀ vaut ℓ si et seulement si ses limites à gauche et à droite en x₀ valent toutes deux ℓ.

Compléments

• Si une fonction admet une limite en x₀, cette limite est unique.

📖 2. Limites infinies et à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en un point : f tend vers +∞ en x₀ si, pour tout A > 0, f(x) > A dès que x est suffisamment proche de x₀, avec x ≠ x₀ ; f tend vers −∞ si f(x) < −A dans ces mêmes conditions.
• Limite à l’infini : En +∞, f tend vers ℓ si, pour tout ε > 0, |f(x) − ℓ| < ε dès que x est suffisamment grand ; elle tend vers +∞ si elle dépasse tout A > 0, et vers −∞ si elle devient inférieure à −A.

📝 Points essentiels

• En −∞, les définitions de limites finies ou infinies s’appliquent lorsque x devient inférieur à un seuil négatif suffisamment grand en valeur absolue.

📌 La limite de f en un point décrit f(x) lorsque x se rapproche de ce point, tandis qu’une limite en +∞ ou −∞ décrit f(x) lorsque x s’éloigne sans borne dans la direction considérée.

💡 Astuce mémo

Près de x₀, x s’approche d’un point ; à l’infini, x dépasse tout seuil.

📖 3. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 Si f tend vers ℓ et g vers m en x₀, alors f + g tend vers ℓ + m et fg tend vers ℓm.

📌 Si f tend vers ℓ et g vers m ≠ 0 en x₀, et si g ne s’annule pas au voisinage de x₀ hors de x₀, alors f/g tend vers ℓ/m.

Compléments

📌 Si f tend vers +∞ en x₀, alors 1/f tend vers 0 par valeurs positives ; si f tend vers −∞, alors 1/f tend vers 0 par valeurs négatives.

📌 Si f tend vers ℓ en x₀, si g tend vers m en ℓ et si f(x) ≠ ℓ pour x ≠ x₀, alors g∘f tend vers m en x₀.

📖 4. Limites et suites

📝 Points essentiels

📌 f tend vers ℓ en x₀ si et seulement si, pour toute suite (uₙ) de points de D distincts de x₀ qui converge vers x₀, la suite f(uₙ) converge vers ℓ.

📖 5. Signe, ordre et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h tendent vers la même limite ℓ en x₀, alors g tend aussi vers ℓ en x₀.

Compléments

• Si f tend vers ℓ > 0 en x₀, alors f(x) > 0 pour tout x suffisamment proche de x₀, avec x ≠ x₀.

• Si f(x) ≥ g(x) sur D et si f et g tendent respectivement vers ℓ et m en x₀, alors ℓ ≥ m.

• Si f est bornée sur D et si g tend vers 0 en x₀, alors fg tend vers 0 en x₀.

• Si f ≤ g, alors une limite +∞ de f en x₀ entraîne une limite +∞ de g, et une limite −∞ de g entraîne une limite −∞ de f.

💡 Astuce mémo

Une fonction prise en sandwich entre deux fonctions qui tendent vers la même limite.

📖 6. Limites remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les limites usuelles à l’infini sont $\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+$, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.

📐 Formule - Les limites en zéro vérifient $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.

📐 Formule - Les limites en zéro vérifient $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$, $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$.

📖 7. Croissances comparées

📝 Points essentiels

📐 Formule - À +∞, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0^+$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$.

📐 Formule - Pour tout b > 0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^b}=0^+$ et $\lim_{x\to0^+}x^b\ln x=0^-$.