Fiche de révision : Trigonométrie et cercle trigonométrique

📋 Plan du Cours

1. Trigonométrie du triangle rectangle
2. Cercle trigonométrique et radians
3. Enroulement et angles cotermes
4. Mesure principale d’un angle
5. Cosinus et sinus d’un réel
6. Valeurs remarquables et symétries
7. Calculs et équations trigonométriques

📖 1. Trigonométrie du triangle rectangle

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport $\cos(x)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport $\sin(x)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Compléments

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport $\tan(x)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

📖 2. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de rayon 1, centré à l’origine d’un repère orthonormé et orienté dans le sens direct.

• Radian : Unité de mesure d’un angle repéré par la longueur de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique.

★ À maîtriser

• Un angle de 180° correspond à $\pi$ radians.

Compléments

• Le sens direct sur un cercle est le sens anti-horaire, également appelé sens positif.

• La longueur d’arc d’un angle de 360° sur un cercle de rayon R est son périmètre, soit $2\pi R$.

• Sur le cercle trigonométrique, la longueur d’arc interceptée par un angle au centre est proportionnelle à la mesure de cet angle en degrés.

• Un angle orienté peut avoir une mesure en radians positive ou négative selon le sens de parcours du cercle.

📖 3. Enroulement et angles cotermes

★ À maîtriser

• L’enroulement de la droite graduée sur le cercle trigonométrique associe à tout réel x un point M du cercle.

📌 Deux réels de la forme $x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$, correspondent au même point du cercle trigonométrique.

Compléments

• Ajouter un multiple entier de $2\pi$ à un réel conserve le point correspondant sur le cercle trigonométrique.

📌 Un angle possède une infinité de mesures en radians, et ces mesures diffèrent entre elles d’un multiple entier de $2\pi$.

💡 Astuce mémo

Imagine la droite graduée qui s’enroule autour du cercle.

📖 4. Mesure principale d’un angle

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : Celle qui, parmi les mesures d’un angle orienté, appartient à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer une mesure principale, on retranche ou ajoute des multiples entiers de $2\pi$ jusqu’à obtenir une mesure dans $]-\pi;\pi]$.

📖 5. Cosinus et sinus d’un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un réel : L’abscisse du point du cercle trigonométrique correspondant à x.
• Sinus d’un réel : L’ordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Compléments

📌 Pour tout réel x, $-1\leq\cos(x)\leq1$ et $-1\leq\sin(x)\leq1$.

📌 Pour tout réel x, $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$.

📖 6. Valeurs remarquables et symétries

★ À maîtriser

• Les valeurs particulières à connaître concernent les angles 0, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$.

• Les symétries du cercle par rapport à l’origine, à l’axe des ordonnées et à l’axe des abscisses permettent de déduire les valeurs de cosinus et de sinus sur tout le cercle à partir du quadrant compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$.

Compléments

• Pour tout x, $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

📖 7. Calculs et équations trigonométriques

★ À maîtriser

• 🔄 Pour calculer un cosinus et un sinus, on : trouve la mesure principale, repère le quadrant pour déterminer les signes du cosinus et du sinus, applique les valeurs remarquables

Compléments

• Le cercle trigonométrique permet de résoudre des équations comme $\cos(x)=\frac{1}{2}$ ou $\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur un intervalle donné.

💡 Astuce mémo

Réduire à la mesure principale, repérer le quadrant, puis appliquer les valeurs remarquables.