QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (16 questions)

Question 1

1. Un point du cercle trigonométrique associé au réel $t$ a pour coordonnées $(u,v)$ . À quelle coordonnée correspond $\sin(t)$ ?

À

v

, l’ordonnée du point

Au réel

t

lui-même

Au rayon du cercle, égal à

1

À

u

, l’abscisse du point

Explication

Le sinus d’un réel est l’ordonnée du point correspondant sur le cercle trigonométrique. $u$ est l’abscisse, tandis que $t$ désigne l’angle et non une coordonnée.

Answer

À $$v$$, l’ordonnée du point

Question 2

2. Sur le cercle trigonométrique, un réel $x$ correspond au point $M$ de coordonnées $(a,b)$ . Quelle valeur représente $\cos(x)$ ?

b

a

1

x

Explication

Le cosinus d’un réel est l’abscisse du point correspondant sur le cercle trigonométrique. La valeur $b$ est l’ordonnée, $x$ est l’angle et $1$ est le rayon du cercle unité.

Answer

Un cercle de rayon 1, centré à l’origine et orienté dans le sens direct

Answer

$$\frac{4}{5}$$

Answer

$$\pi$$ radians

Answer

Celle qui appartient à $$]-\pi;\pi]$$

Answer

À un point du cercle trigonométrique

Answer

La longueur de l’arc correspondant à l’angle

Answer

$$\frac{3}{5}$$

Answer

Ajouter ou retrancher des multiples entiers de $$2\pi$$ jusqu’à entrer dans $$]-\pi;\pi]$$

Answer

$$0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi$$

Answer

En utilisant les symétries du cercle et en tenant compte des signes

Answer

Trouver la mesure principale, repérer le quadrant, puis appliquer les valeurs remarquables avec les bons signes

Answer

Ils correspondent au même point

Answer

$$\frac{3}{5}$$

Answer

Repérer sur le cercle les angles dont l’abscisse vaut $$\frac{1}{2}$$ et retenir ceux de l’intervalle

Question 3

3. Quelle caractéristique définit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé ?

Un cercle de rayon 1, centré au point unité et orienté dans le sens direct

Un cercle de rayon 1, centré à l’origine et orienté dans le sens indirect

Un cercle de rayon 1, centré à l’origine et orienté dans le sens direct

Un cercle de rayon quelconque, centré à l’origine et orienté dans le sens direct

Explication

Le cercle trigonométrique a un rayon de 1, son centre est l’origine du repère orthonormé et il est orienté dans le sens direct. Un rayon quelconque néglige la condition de rayon unité, tandis que les autres réponses déplacent le centre ou inversent l’orientation.

Question 4

4. Pour un réel $x$ , on sait que $\cos(x)=\frac{3}{5}$ et que $\sin(x)>0$ . Quelle est la valeur de $\sin(x)$ ?

-\frac{4}{5}

\frac{4}{5}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

Explication

L’identité $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ donne $\sin^2(x)=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\sin(x)=\frac{4}{5}$ puisque le sinus est positif. $\frac{2}{5}$ vient d’une racine mal calculée, le signe négatif contredit la condition, et $\frac{3}{5}$ reprend le cosinus.

Question 5

5. Un angle mesure 180°. Quelle est sa mesure équivalente en radians ?

\pi

radians

2\pi

radians

\frac{\pi}{2}

radians

180 radians

Explication

Un angle de 180° correspond à $\pi$ radians, c’est-à-dire à un demi-tour. $2\pi$ radians correspond à un tour complet, $\frac{\pi}{2}$ à un quart de tour, et 180 radians confond la valeur en degrés avec celle en radians.

Question 6

6. Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, laquelle est sa mesure principale ?

Celle qui appartient à

[-\pi;\pi]

Celle qui appartient à

[0;2\pi]

Celle qui appartient à

[-\pi;\pi[

Celle qui appartient à

]-\pi;\pi]

Explication

La mesure principale est définie comme la mesure de l’angle appartenant à $]-\pi;\pi]$ . L’intervalle est ouvert en $-\pi$ et fermé en $\pi$ , contrairement aux deux intervalles fermés ou à l’intervalle positif proposés.

Question 7

7. On enroule la droite graduée sur le cercle trigonométrique et l’on choisit un réel $x$ sur cette droite. À quoi correspond-il sur le cercle ?

À un point du cercle trigonométrique

À un point du cercle seulement si le réel est positif

À un point de la droite graduée

À une longueur d’arc sans point associé

Explication

L’enroulement associe à tout réel un point du cercle trigonométrique. Une longueur d’arc n’est pas le point obtenu, et l’association ne dépend pas du signe du réel.

Question 8

8. Sur un cercle trigonométrique, que mesure le radian pour un angle repéré ?

La longueur du rayon correspondant à l’angle

La longueur de l’arc correspondant à l’angle

La mesure de l’angle en degrés

La longueur de la corde correspondant à l’angle

Explication

Le radian exprime un angle à partir de la longueur de l’arc correspondant sur le cercle trigonométrique. La corde est le segment reliant les extrémités de l’arc, tandis que les degrés constituent une autre unité de mesure angulaire.

Question 9

9. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu dont le côté adjacent mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm, quelle est la valeur du cosinus ?

\frac{4}{5}

\frac{3}{5}

\frac{5}{3}

\frac{3}{4}

Explication

Le cosinus est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse : $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ . $\frac{5}{3}$ inverse le rapport, $\frac{4}{5}$ correspondrait à un côté opposé de 8 cm sur l’hypoténuse, et $\frac{3}{4}$ confond le rapport avec celui des deux côtés de l’angle droit.

Question 10

10. Pour obtenir la mesure principale d’un angle mesuré en radians, quelle opération faut-il effectuer sur sa mesure initiale ?

Ajouter ou retrancher des multiples entiers de

2\pi

jusqu’à entrer dans

]-\pi;\pi]

Retrancher des multiples entiers de

2\pi

pour entrer dans

[0;2\pi]

Convertir en degrés puis réduire la mesure dans

]-180;180]

Ajouter ou retrancher des multiples entiers de

\pi

jusqu’à entrer dans

]-\pi;\pi]

Explication

Les mesures d’un même angle diffèrent par des multiples entiers de $2\pi$ ; on les ajoute ou les retranche jusqu’à obtenir une valeur dans $]-\pi;\pi]$ . Utiliser des multiples de $\pi$ peut changer le point image, tandis que l’intervalle positif n’est pas celui de la mesure principale.

Question 11

11. Laquelle de ces listes contient les six angles particuliers dont les valeurs de sinus et de cosinus sont à connaître ?

0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi

0,\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi

0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}

0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi,\frac{5\pi}{2}

Explication

Les six angles particuliers à connaître sont $0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ et $\pi$ . La liste avec $\frac{\pi}{5}$ substitue un angle, celle des multiples s’écarte de cette liste, et la dernière remplace $\pi$ par $\frac{2\pi}{3}$ .

Question 12

12. Pour déterminer les valeurs de sinus et de cosinus d’un angle situé dans le troisième quadrant, comment peut-on s’appuyer sur les valeurs connues entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ ?

En utilisant les symétries du cercle et en tenant compte des signes

En changeant le signe du sinus sans examiner celui du cosinus

En recherchant les valeurs dans un autre quadrant sans symétrie

En recopiant les valeurs du premier quadrant avec les mêmes signes

Explication

Les symétries du cercle par rapport à l’origine et aux axes permettent de déduire les valeurs sur tout le cercle à partir du quadrant entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ . Recopier les mêmes signes ignore les changements liés au quadrant, tandis que modifier un seul signe ou écarter les symétries ne donne pas la règle générale.

Question 13

13. Pour déterminer le cosinus et le sinus de $\frac{7\pi}{6}$ , quelle démarche permet d’obtenir correctement leurs valeurs et leurs signes ?

Trouver la mesure principale, puis donner au sinus et au cosinus le même signe

Repérer le quadrant, appliquer les valeurs remarquables, puis trouver la mesure principale

Appliquer les valeurs remarquables, puis attribuer les signes sans repérer le quadrant

Trouver la mesure principale, repérer le quadrant, puis appliquer les valeurs remarquables avec les bons signes

Explication

La mesure principale situe l’angle, le quadrant détermine les signes, puis les valeurs remarquables donnent les valeurs absolues. Déterminer les signes avant la réduction inverse l’ordre utile, le même signe pour les deux fonctions confond leurs signes, et omettre le quadrant empêche de choisir les bons signes.

Question 14

14. Deux réels $a$ et $b$ vérifient $b=a+6\pi$ . Quel lien ont leurs points images sur le cercle trigonométrique ?

Ils correspondent à deux points opposés

Ils correspondent à deux points séparés d’un quart de tour

Leur relation ne permet pas de comparer leurs points images

Ils correspondent au même point

Explication

$6\pi=2\times 3\pi$ est un multiple entier de $2\pi$ , donc $a$ et $b$ ont le même point image. L’opposition correspond à un décalage de $\pi$ , et un quart de tour à un décalage de $\frac{\pi}{2}$ .

Question 15

15. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle aigu mesure 9 cm et l’hypoténuse 15 cm. Quel est le sinus de cet angle ?

\frac{5}{3}

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

\frac{3}{4}

Explication

Le sinus est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, donc $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ . $\frac{5}{3}$ inverse ce rapport, $\frac{4}{5}$ substitue le côté adjacent au côté opposé, et $\frac{3}{4}$ utilise le rapport entre les deux côtés de l’angle droit.

Question 16

16. Sur l’intervalle $[0,2\pi]$ , quelle démarche permet de résoudre $\cos(x)=\frac{1}{2}$ ?

Repérer sur le cercle les angles dont la tangente vaut

\frac{1}{2}

et retenir ceux de l’intervalle

Repérer sur le cercle les angles dont l’ordonnée vaut

\frac{1}{2}

et retenir ceux de l’intervalle

Repérer sur le cercle le seul angle du premier quadrant dont l’abscisse vaut

\frac{1}{2}

Repérer sur le cercle les angles dont l’abscisse vaut

\frac{1}{2}

et retenir ceux de l’intervalle

Explication

Le cercle trigonométrique représente le cosinus par l’abscisse : il faut donc relever tous les angles de l’intervalle dont l’abscisse vaut $\frac{1}{2}$ . Ne garder que le premier quadrant écarte une solution, tandis que l’ordonnée et la tangente correspondent à d’autres fonctions.

QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point du cercle trigonométrique associé au réel $t$ a pour coordonnées $(u,v)$ . À quelle coordonnée correspond $\sin(t)$ ?

2. Sur le cercle trigonométrique, un réel $x$ correspond au point $M$ de coordonnées $(a,b)$ . Quelle valeur représente $\cos(x)$ ?

3. Quelle caractéristique définit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé ?

4. Pour un réel $x$ , on sait que $\cos(x)=\frac{3}{5}$ et que $\sin(x)>0$ . Quelle est la valeur de $\sin(x)$ ?

5. Un angle mesure 180°. Quelle est sa mesure équivalente en radians ?

6. Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, laquelle est sa mesure principale ?

7. On enroule la droite graduée sur le cercle trigonométrique et l’on choisit un réel $x$ sur cette droite. À quoi correspond-il sur le cercle ?

8. Sur un cercle trigonométrique, que mesure le radian pour un angle repéré ?

9. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu dont le côté adjacent mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm, quelle est la valeur du cosinus ?

10. Pour obtenir la mesure principale d’un angle mesuré en radians, quelle opération faut-il effectuer sur sa mesure initiale ?

11. Laquelle de ces listes contient les six angles particuliers dont les valeurs de sinus et de cosinus sont à connaître ?

12. Pour déterminer les valeurs de sinus et de cosinus d’un angle situé dans le troisième quadrant, comment peut-on s’appuyer sur les valeurs connues entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ ?

13. Pour déterminer le cosinus et le sinus de $\frac{7\pi}{6}$ , quelle démarche permet d’obtenir correctement leurs valeurs et leurs signes ?

14. Deux réels $a$ et $b$ vérifient $b=a+6\pi$ . Quel lien ont leurs points images sur le cercle trigonométrique ?

15. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle aigu mesure 9 cm et l’hypoténuse 15 cm. Quel est le sinus de cet angle ?

16. Sur l’intervalle $[0,2\pi]$ , quelle démarche permet de résoudre $\cos(x)=\frac{1}{2}$ ?

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QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point du cercle trigonométrique associé au réel ttt a pour coordonnées (u,v)(u,v)(u,v). À quelle coordonnée correspond sin⁡(t)\sin(t)sin(t) ?

2. Sur le cercle trigonométrique, un réel xxx correspond au point MMM de coordonnées (a,b)(a,b)(a,b). Quelle valeur représente cos⁡(x)\cos(x)cos(x) ?

3. Quelle caractéristique définit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé ?

4. Pour un réel xxx, on sait que cos⁡(x)=35\cos(x)=\frac{3}{5}cos(x)=53​ et que sin⁡(x)>0\sin(x)>0sin(x)>0. Quelle est la valeur de sin⁡(x)\sin(x)sin(x) ?

5. Un angle mesure 180°. Quelle est sa mesure équivalente en radians ?

6. Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, laquelle est sa mesure principale ?

7. On enroule la droite graduée sur le cercle trigonométrique et l’on choisit un réel xxx sur cette droite. À quoi correspond-il sur le cercle ?

8. Sur un cercle trigonométrique, que mesure le radian pour un angle repéré ?

9. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu dont le côté adjacent mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm, quelle est la valeur du cosinus ?

10. Pour obtenir la mesure principale d’un angle mesuré en radians, quelle opération faut-il effectuer sur sa mesure initiale ?

11. Laquelle de ces listes contient les six angles particuliers dont les valeurs de sinus et de cosinus sont à connaître ?

12. Pour déterminer les valeurs de sinus et de cosinus d’un angle situé dans le troisième quadrant, comment peut-on s’appuyer sur les valeurs connues entre 000 et π2\frac{\pi}{2}2π​ ?

13. Pour déterminer le cosinus et le sinus de 7π6\frac{7\pi}{6}67π​, quelle démarche permet d’obtenir correctement leurs valeurs et leurs signes ?

14. Deux réels aaa et bbb vérifient b=a+6πb=a+6\pib=a+6π. Quel lien ont leurs points images sur le cercle trigonométrique ?

15. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle aigu mesure 9 cm et l’hypoténuse 15 cm. Quel est le sinus de cet angle ?

16. Sur l’intervalle [0,2π][0,2\pi][0,2π], quelle démarche permet de résoudre cos⁡(x)=12\cos(x)=\frac{1}{2}cos(x)=21​ ?

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1. Un point du cercle trigonométrique associé au réel $t$ a pour coordonnées $(u,v)$ . À quelle coordonnée correspond $\sin(t)$ ?

2. Sur le cercle trigonométrique, un réel $x$ correspond au point $M$ de coordonnées $(a,b)$ . Quelle valeur représente $\cos(x)$ ?

4. Pour un réel $x$ , on sait que $\cos(x)=\frac{3}{5}$ et que $\sin(x)>0$ . Quelle est la valeur de $\sin(x)$ ?

7. On enroule la droite graduée sur le cercle trigonométrique et l’on choisit un réel $x$ sur cette droite. À quoi correspond-il sur le cercle ?

12. Pour déterminer les valeurs de sinus et de cosinus d’un angle situé dans le troisième quadrant, comment peut-on s’appuyer sur les valeurs connues entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ ?

13. Pour déterminer le cosinus et le sinus de $\frac{7\pi}{6}$ , quelle démarche permet d’obtenir correctement leurs valeurs et leurs signes ?

14. Deux réels $a$ et $b$ vérifient $b=a+6\pi$ . Quel lien ont leurs points images sur le cercle trigonométrique ?

16. Sur l’intervalle $[0,2\pi]$ , quelle démarche permet de résoudre $\cos(x)=\frac{1}{2}$ ?