Fiche de révision : Formulaire de trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Angles particuliers et identités fondamentales
2. Dérivées et symétries trigonométriques
3. Formules d’addition et duplication
4. Transformations trigonométriques
5. Arc moitié et équations trigonométriques

📖 1. Angles particuliers et identités fondamentales

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$ et $\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}$.

📐 Formule — Les identités trigonométriques fondamentales sont $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, $1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}$ et $1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}$.

• Pour les angles x = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et π, les valeurs de cos x sont respectivement 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 et -1.

📖 2. Dérivées et symétries trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées sont $\cos' x = -\sin x$, $\sin' x = \cos x$, $\tan' x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ et $\cot' x = -1 - \cot^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

📐 Formule — Les symétries par changement de signe sont $\cos(-a)=\cos a$, $\sin(-a)=-\sin a$ et $\tan(-a)=-\tan a$.

Compléments

📐 Formule — Les symétries autour de π sont $\cos(π-a)=-\cos a$, $\sin(π-a)=\sin a$ et $\tan(π-a)=-\tan a$, tandis que $\cos(π+a)=-\cos a$, $\sin(π+a)=-\sin a$ et $\tan(π+a)=\tan a$.

📐 Formule — Les symétries autour de π/2 sont $\cos(π/2-a)=\sin a$, $\sin(π/2-a)=\cos a$, $\tan(π/2-a)=\cot a$, $\cos(π/2+a)=-\sin a$, $\sin(π/2+a)=\cos a$ et $\tan(π/2+a)=-\cot a$.

💡 Astuce mémo

Pair pour cos, impair pour sin et tan

📖 3. Formules d’addition et duplication

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction du cosinus sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction du sinus sont $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ et $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$.

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction de la tangente sont $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ et $\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1$, $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ et $\tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}$.

📖 4. Transformations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les produits se transforment en sommes selon $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$, $\sin a\sin b=\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$ et $\sin a\cos b=\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$.

📐 Formule — La linéarisation donne $\cos^2a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ et $\sin^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

📐 Formule — Les sommes se transforment en produits selon $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$, $\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$, $\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ et $\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$.

💡 Astuce mémo

Produit → somme, carré → angle double, somme → produit

📖 5. Arc moitié et équations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — En posant $t=\tan\left(\frac a2\right)$, les formules d’arc moitié sont $\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin a=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\tan a=\frac{2t}{1-t^2}$.

📐 Formule — Pour (a,b) ≠ (0,0), toute combinaison linéaire s’écrit $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)$ avec $\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

📐 Formule — Les solutions de $\sin x=\sin a$ sont $x=a\ [2π]$ ou $x=π-a\ [2π]$, celles de $\cos x=\cos a$ sont $x=a\ [2π]$ ou $x=-a\ [2π]$, celles de $\cos x=\cos a$ et $\sin x=\sin a$ sont $x=a\ [2π]$, et celles de $\tan x=\tan a$ sont $x=a\ [π]$.

📊 Tableaux de synthèse

Équations trigonométriques