Fiche de révision : Formulaire de trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Angles particuliers et identités fondamentales
2. Dérivées et symétries trigonométriques
3. Formules d’addition et duplication
4. Transformations trigonométriques
5. Arc moitié et équations trigonométriques

📖 1. Angles particuliers et identités fondamentales

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $\\tan a = \\frac{\\sin a}{\\cos a}$ et $\\cot a = \\frac{1}{\\tan a} = \\frac{\\cos a}{\\sin a}$.

📐 Formule — Les identités trigonométriques fondamentales sont $\\cos^2 a + \\sin^2 a = 1$, $1 + \\tan^2 a = \\frac{1}{\\cos^2 a}$ et $1 + \\cot^2 a = \\frac{1}{\\sin^2 a}$.

• Pour les angles x = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et π, les valeurs de cos x sont respectivement 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 et -1.

📖 2. Dérivées et symétries trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées sont $\\cos' x = -\\sin x$, $\\sin' x = \\cos x$, $\\tan' x = 1 + \\tan^2 x = \\frac{1}{\\cos^2 x}$ et $\\cot' x = -1 - \\cot^2 x = -\\frac{1}{\\sin^2 x}$.

📐 Formule — Les symétries par changement de signe sont $\\cos(-a)=\\cos a$, $\\sin(-a)=-\\sin a$ et $\\tan(-a)=-\\tan a$.

Compléments

📐 Formule — Les symétries autour de π sont $\\cos(π-a)=-\\cos a$, $\\sin(π-a)=\\sin a$ et $\\tan(π-a)=-\\tan a$, tandis que $\\cos(π+a)=-\\cos a$, $\\sin(π+a)=-\\sin a$ et $\\tan(π+a)=\\tan a$.

📐 Formule — Les symétries autour de π/2 sont $\\cos(π/2-a)=\\sin a$, $\\sin(π/2-a)=\\cos a$, $\\tan(π/2-a)=\\cot a$, $\\cos(π/2+a)=-\\sin a$, $\\sin(π/2+a)=\\cos a$ et $\\tan(π/2+a)=-\\cot a$.

💡 Astuce mémo

Pair pour cos, impair pour sin et tan

📖 3. Formules d’addition et duplication

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction du cosinus sont $\\cos(a+b)=\\cos a\\cos b-\\sin a\\sin b$ et $\\cos(a-b)=\\cos a\\cos b+\\sin a\\sin b$.

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction du sinus sont $\\sin(a+b)=\\sin a\\cos b+\\sin b\\cos a$ et $\\sin(a-b)=\\sin a\\cos b-\\sin b\\cos a$.

📐 Formule — Les formules d’addition et de soustraction de la tangente sont $\\tan(a+b)=\\frac{\\tan a+\\tan b}{1-\\tan a\\tan b}$ et $\\tan(a-b)=\\frac{\\tan a-\\tan b}{1+\\tan a\\tan b}$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\\cos(2a)=\\cos^2a-\\sin^2a=1-2\\sin^2a=2\\cos^2a-1$, $\\sin(2a)=2\\sin a\\cos a$ et $\\tan(2a)=\\frac{2\\tan a}{1-\\tan^2a}$.

📖 4. Transformations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les produits se transforment en sommes selon \\cos a\\cos b=\\frac12\[\\cos(a+b)+\\cos(a-b)\], \\sin a\\sin b=\\frac12\[\\cos(a-b)-\\cos(a+b)\] et \\sin a\\cos b=\\frac12\[\\sin(a+b)+\\sin(a-b)\].

📐 Formule — La linéarisation donne $\\cos^2a=\\frac{1+\\cos 2a}{2}$ et $\\sin^2a=\\frac{1-\\cos 2a}{2}$.

📐 Formule — Les sommes se transforment en produits selon $\\cos p+\\cos q=2\\cos\\frac{p+q}{2}\\cos\\frac{p-q}{2}$, $\\cos p-\\cos q=-2\\sin\\frac{p+q}{2}\\sin\\frac{p-q}{2}$, $\\sin p+\\sin q=2\\sin\\frac{p+q}{2}\\cos\\frac{p-q}{2}$ et $\\sin p-\\sin q=2\\cos\\frac{p+q}{2}\\sin\\frac{p-q}{2}$.

💡 Astuce mémo

Produit → somme, carré → angle double, somme → produit

📖 5. Arc moitié et équations trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — En posant $t=\\tan\\left(\\frac a2\\right)$, les formules d’arc moitié sont $\\cos a=\\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\\sin a=\\frac{2t}{1+t^2}$ et $\\tan a=\\frac{2t}{1-t^2}$.

📐 Formule — Pour (a,b) ≠ (0,0), toute combinaison linéaire s’écrit $a\\cos x+b\\sin x=\\sqrt{a^2+b^2}\\cos(x-\\theta)$ avec $\\cos\\theta=\\frac{a}{\\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\\sin\\theta=\\frac{b}{\\sqrt{a^2+b^2}}$.

📐 Formule — Les solutions de $\\sin x=\\sin a$ sont x=a\\ \[2π\] ou x=π-a\\ \[2π\], celles de $\\cos x=\\cos a$ sont x=a\\ \[2π\] ou x=-a\\ \[2π\], celles de $\\cos x=\\cos a$ et $\\sin x=\\sin a$ sont x=a\\ \[2π\], et celles de $\\tan x=\\tan a$ sont x=a\\ \[π\].

📊 Tableaux de synthèse

Équations trigonométriques