QCM : Formulaire de trigonométrie — 15 questions

Question 1

1. Quelle est la valeur de $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

0

\frac{\sqrt{2}}{2}

Explication

Pour l’angle $\frac{\pi}{3}$ , le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ . La valeur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ correspond plutôt à $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ .

Answer

$$\frac{1}{2}$$

Question 2

2. Quelle expression donne correctement la cotangente d’un angle $a$ ?

\frac{\cos a}{\sin a}

\frac{1}{\sin a}

\frac{\sin a}{\cos a}

\frac{1}{\cos a}

Explication

La cotangente est l’inverse de la tangente, donc $\cot a=\frac{1}{\tan a}=\frac{\cos a}{\sin a}$ . Le rapport $\frac{\sin a}{\cos a}$ définit la tangente, et non la cotangente.

Answer

$$\frac{\cos a}{\sin a}$$

Question 3

3. Quelle identité relie correctement la tangente et le cosinus d’un angle $a$ ?

1+\cot^2a=\frac{1}{\cos^2a}

1+\tan^2a=\frac{1}{\sin^2a}

\cos^2a+\tan^2a=1

1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}

Explication

L’identité associée à la tangente est $1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}$ . Le dénominateur $\sin^2a$ intervient dans l’identité analogue utilisant la cotangente.

Answer

$$1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}$$

Question 4

4. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

f'(x)=-\sin x

f'(x)=\sin x

f'(x)=1+\tan^2x

f'(x)=\cos x

Explication

La dérivée du cosinus est $\cos' x=-\sin x$ , ce qui explique le signe négatif. La dérivée du sinus est positive et vaut $\cos x$ .

Answer

$$f'(x)=-\sin x$$

Question 5

5. Que vaut $\sin(-a)$ lorsqu’on connaît $\sin a$ ?

-\cos a

-\sin a

\cos a

\sin a

Explication

Le sinus est une fonction impaire, donc $\sin(-a)=-\sin a$ . En revanche, le cosinus est pair et vérifie $\cos(-a)=\cos a$ .

Answer

$$-\sin a$$

Question 6

6. Quelle formule exprime correctement $\cos(a+b)$ ?

\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin a\cos b-\sin b\cos a

\sin a\cos b+\sin b\cos a

\cos a\cos b-\sin a\sin b

Explication

La formule d’addition du cosinus est $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ . Le signe devient positif dans la formule de soustraction $\cos(a-b)$ .

Answer

$$\cos a\cos b-\sin a\sin b$$

Question 7

7. Quelle expression correspond à $\sin(a-b)$ ?

\cos a\cos b-\sin a\sin b

\sin a\cos b-\sin b\cos a

\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin a\cos b+\sin b\cos a

Explication

La soustraction des angles donne $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$ . Les deux produits sont additionnés dans la formule de $\sin(a+b)$ .

Answer

$$\sin a\cos b-\sin b\cos a$$

Question 8

8. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle expression permet de calculer $\tan(a+b)$ ?

\frac{1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}

\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}

\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}

Explication

La formule d’addition est $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ , d’où l’expression proposée. Le signe positif au dénominateur appartient à la formule de soustraction.

Answer

$$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}$$

Question 9

9. Quelle formule de duplication permet de calculer $\sin(2a)$ ?

\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}

2\sin a\cos a

1-2\sin^2a

\cos^2a-\sin^2a

Explication

La formule de duplication du sinus est $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ . Les expressions $\cos^2a-\sin^2a$ et $1-2\sin^2a$ concernent la duplication du cosinus.

Answer

$$2\sin a\cos a$$

Question 10

10. Quelle identité transforme le produit $\sin a\sin b$ en somme ou différence de cosinus ?

\frac12[\cos(a+b)-\cos(a-b)]

\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]

\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]

\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]

Explication

Le produit de deux sinus devient une demi-différence entre $\cos(a-b)$ et $\cos(a+b)$ . L’expression avec une somme de cosinus correspond au produit $\cos a\cos b$ .

Answer

$$\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$$

Question 11

11. Quelle formule de linéarisation est correcte pour $\sin^2 a$ ?

\sin^2a=\frac{1+\sin 2a}{2}

\sin^2a=\frac{1+\cos 2a}{2}

\sin^2a=\frac{1-\sin 2a}{2}

\sin^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}

Explication

La linéarisation de $\sin^2a$ utilise le signe moins devant $\cos 2a$ . Le signe plus est associé à la formule de $\cos^2a$ .

Answer

$$\sin^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}$$

Question 12

12. Comment transformer la somme $\sin p+\sin q$ en produit ?

2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}

2\cos\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}

2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}

Explication

La somme de deux sinus se factorise par $2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ . La formule comportant deux cosinus correspond à une somme de cosinus, pas à une somme de sinus.

Answer

$$2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$

Question 13

13. En posant $t=\tan\left(\frac a2\right)$ , quelle expression donne $\tan a$ ?

\frac{2t}{1-t^2}

\frac{1-t^2}{1-t^2}

\frac{2t}{1+t^2}

\frac{1-t^2}{1+t^2}

Explication

La formule d’arc moitié donne $\tan a=\frac{2t}{1-t^2}$ . Le dénominateur $1+t^2$ apparaît dans les expressions de $\sin a$ et $\cos a$ .

Answer

$$\frac{2t}{1-t^2}$$

Question 14

14. Pourquoi la factorisation $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)$ suppose-t-elle que $(a,b)\ne(0,0)$ ?

Parce que le développement de

\cos(x-\theta)

ne contient pas de terme en sinus lorsque les coefficients sont nuls.

Parce que la formule exige que

a

et

b

aient des valeurs entières afin de définir un angle associé.

Parce que la norme

\sqrt{a^2+b^2}

doit être non nulle pour définir les rapports de

\cos\theta

et

\sin\theta

.

Parce que la variable

x

doit être choisie dans un intervalle où les deux coefficients sont positifs.

Explication

La condition exclut le cas où la norme des coefficients vaut zéro, car les définitions de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ comporteraient alors une division par zéro. Lorsque les deux coefficients sont nuls, la combinaison vaut bien zéro, mais cette représentation par un angle n’est pas définie par ces rapports.

Answer

Parce que la norme $$\sqrt{a^2+b^2}$$ doit être non nulle pour définir les rapports de $$\cos\theta$$ et $$\sin\theta$$.

Question 15

15. Quelles sont les solutions générales de $\tan x=\tan a$ ?

x=a\ [2\pi]\text{ ou }x=-a\ [2\pi]

x=a\ [\pi]\text{ ou }x=\pi-a\ [\pi]

x=a\ [2\pi]

x=a\ [\pi]

Explication

La tangente est périodique de période $\pi$ , donc toutes les solutions s’écrivent $x=a\ [\pi]$ . Les deux familles modulo $2\pi$ concernent l’équation de sinus, tandis que celle du cosinus utilise $a$ et $-a$ .

Answer

$$x=a\ [\pi]$$

QCM : Formulaire de trigonométrie — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la valeur de $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

2. Quelle expression donne correctement la cotangente d’un angle $a$ ?

3. Quelle identité relie correctement la tangente et le cosinus d’un angle $a$ ?

4. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

5. Que vaut $\sin(-a)$ lorsqu’on connaît $\sin a$ ?

6. Quelle formule exprime correctement $\cos(a+b)$ ?

7. Quelle expression correspond à $\sin(a-b)$ ?

8. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle expression permet de calculer $\tan(a+b)$ ?

9. Quelle formule de duplication permet de calculer $\sin(2a)$ ?

10. Quelle identité transforme le produit $\sin a\sin b$ en somme ou différence de cosinus ?

11. Quelle formule de linéarisation est correcte pour $\sin^2 a$ ?

12. Comment transformer la somme $\sin p+\sin q$ en produit ?

13. En posant $t=\tan\left(\frac a2\right)$ , quelle expression donne $\tan a$ ?

14. Pourquoi la factorisation $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)$ suppose-t-elle que $(a,b)\ne(0,0)$ ?

15. Quelles sont les solutions générales de $\tan x=\tan a$ ?

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QCM : Formulaire de trigonométrie — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la valeur de cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)cos(3π​) ?

2. Quelle expression donne correctement la cotangente d’un angle aaa ?

3. Quelle identité relie correctement la tangente et le cosinus d’un angle aaa ?

4. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx ?

5. Que vaut sin⁡(−a)\sin(-a)sin(−a) lorsqu’on connaît sin⁡a\sin asina ?

6. Quelle formule exprime correctement cos⁡(a+b)\cos(a+b)cos(a+b) ?

7. Quelle expression correspond à sin⁡(a−b)\sin(a-b)sin(a−b) ?

8. Si tan⁡a=12\tan a=\frac{1}{2}tana=21​ et tan⁡b=13\tan b=\frac{1}{3}tanb=31​, quelle expression permet de calculer tan⁡(a+b)\tan(a+b)tan(a+b) ?

9. Quelle formule de duplication permet de calculer sin⁡(2a)\sin(2a)sin(2a) ?

10. Quelle identité transforme le produit sin⁡asin⁡b\sin a\sin bsinasinb en somme ou différence de cosinus ?

11. Quelle formule de linéarisation est correcte pour sin⁡2a\sin^2 asin2a ?

12. Comment transformer la somme sin⁡p+sin⁡q\sin p+\sin qsinp+sinq en produit ?

13. En posant t=tan⁡(a2)t=\tan\left(\frac a2\right)t=tan(2a​), quelle expression donne tan⁡a\tan atana ?

14. Pourquoi la factorisation acos⁡x+bsin⁡x=a2+b2cos⁡(x−θ)a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)acosx+bsinx=a2+b2​cos(x−θ) suppose-t-elle que (a,b)≠(0,0)(a,b)\ne(0,0)(a,b)=(0,0) ?

15. Quelles sont les solutions générales de tan⁡x=tan⁡a\tan x=\tan atanx=tana ?

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1. Quelle est la valeur de $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

2. Quelle expression donne correctement la cotangente d’un angle $a$ ?

3. Quelle identité relie correctement la tangente et le cosinus d’un angle $a$ ?

4. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=\cos x$ ?

5. Que vaut $\sin(-a)$ lorsqu’on connaît $\sin a$ ?

6. Quelle formule exprime correctement $\cos(a+b)$ ?

7. Quelle expression correspond à $\sin(a-b)$ ?

8. Si $\tan a=\frac{1}{2}$ et $\tan b=\frac{1}{3}$ , quelle expression permet de calculer $\tan(a+b)$ ?

9. Quelle formule de duplication permet de calculer $\sin(2a)$ ?

10. Quelle identité transforme le produit $\sin a\sin b$ en somme ou différence de cosinus ?

11. Quelle formule de linéarisation est correcte pour $\sin^2 a$ ?

12. Comment transformer la somme $\sin p+\sin q$ en produit ?

13. En posant $t=\tan\left(\frac a2\right)$ , quelle expression donne $\tan a$ ?

14. Pourquoi la factorisation $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)$ suppose-t-elle que $(a,b)\ne(0,0)$ ?

15. Quelles sont les solutions générales de $\tan x=\tan a$ ?