QCM : Formule de Moivre (2 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un nombre complexe est écrit sous la forme z=cos⁡x+isin⁡xz=\cos x+i\sin x. Quelle expression donne znz^n pour un entier naturel nn ?

cos⁡(nx)+isin⁡x\cos(nx)+i\sin x
cos⁡(nx)+isin⁡(nx)\cos(nx)+i\sin(nx)
ncos⁡x+insin⁡xn\cos x+i n\sin x
cos⁡(nx)−isin⁡(nx)\cos(nx)-i\sin(nx)

$$\cos(nx)+i\sin(nx)$$

Explication

La formule de Moivre transforme la puissance n-ième en multipliant l’angle par n dans le cosinus comme dans le sinus. ncos⁡x+insin⁡xn\cos x+i n\sin x confond puissance et multiplication par n, tandis que les deux autres expressions omettent la multiplication de l’angle dans le sinus ou en inversent le signe.

2. Pour exprimer cos⁡(5x)\cos(5x) et sin⁡(5x)\sin(5x) en fonction de cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x, quelle démarche découle directement de la formule de Moivre ?

Développer (cos⁡x+isin⁡x)4\left(\cos x+i\sin x\right)^4 et identifier les parties réelle et imaginaire
Développer (cos⁡x+isin⁡x)5\left(\cos x+i\sin x\right)^5 et identifier la partie réelle dans les deux expressions
Développer (cos⁡x+isin⁡x)5\left(\cos x+i\sin x\right)^5 et identifier les parties réelle et imaginaire
Développer (cos⁡(x/5)+isin⁡(x/5))5\left(\cos(x/5)+i\sin(x/5)\right)^5 et identifier les parties réelle et imaginaire

Développer $$\left(\cos x+i\sin x\right)^5$$ et identifier les parties réelle et imaginaire

Explication

La formule de Moivre donne (cos⁡x+isin⁡x)5=cos⁡(5x)+isin⁡(5x)\left(\cos x+i\sin x\right)^5=\cos(5x)+i\sin(5x); le développement permet donc d’identifier les deux parties. La puissance quatre vise 4x4x, l’identification de deux parties réelles confond sinus et cosinus, et l’angle x/5x/5 ne correspond pas à l’expression demandée.

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Quelle formule de Moivre vaut pour tout entier naturel nn ?

(cos⁡x+isin⁡x)n=cos⁡(nx)+isin⁡(nx).(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).

Quelle application de Moivre concerne cos⁡(5x)\cos(5x) et sin⁡(5x)\sin(5x) ?

Les exprimer en fonction de cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x.

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