QCM : Les nombres complexes (16 questions)

Question 1

1. Quelle écriture décrit un nombre complexe et les conditions imposées à ses composantes ?

z=a+ib

, avec

a,b\in\mathbb C

et

i^2=-1

z=a+ib

, avec

a,b\in\mathbb R

et

i^2=-1

z=a+bi^2

, avec

a,b\in\mathbb R

et

i^2=-1

z=a+ib

, avec

a,b\in\mathbb R

et

i^2=1

Explication

Un nombre complexe s’écrit sous la forme $a+ib$ , où les deux composantes sont réelles et où $i^2=-1$ . La condition $a,b\in\mathbb C$ élargit à tort les composantes, tandis que les autres réponses modifient la propriété de $i$ ou la forme algébrique.

Answer

$$z=a+ib$$, avec $$a,b\in\mathbb R$$ et $$i^2=-1$$

Question 2

2. Pour $z=6-5i$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Re}(z)$ ?

-5

-6

6i

6

Explication

Dans l’écriture $z=a+ib$ , la partie réelle est le coefficient réel $a$ ; ici, elle vaut donc $6$ . La valeur $-5$ est le coefficient imaginaire, $-6$ change le signe de la partie réelle et $6i$ n’est pas une partie réelle.

Answer

$$\bar u\,\bar v$$

Answer

La distance entre l’origine et l’image de $$z$$

Answer

L’angle orienté de l’axe réel vers $$\overrightarrow{OM}$$

Answer

$$\cos\theta=-\frac{3}{5}$$ et $$\sin\theta=\frac{4}{5}$$

Answer

$$3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Answer

$$2e^{-i\pi/4}$$

Answer

$$\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$$

Answer

Écrire le produit sous forme d’une somme

Question 3

3. Un complexe est écrit $w=-2+7i$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{Im}(w)$ ?

-2

7

7i

-7

Explication

Dans $w=a+ib$ , la partie imaginaire est le réel $b$ , coefficient de $i$ ; ici, elle vaut $7$ . $7i$ est le terme imaginaire complet, $-2$ est la partie réelle et $-7$ inverse le signe.

Question 4

4. Un complexe vaut $z=3-4i$ . Quelle expression représente son conjugué ?

-3-4i

3+4i

-3+4i

3-4i

Explication

Le conjugué de $a+ib$ est $a-ib$ : la partie réelle reste inchangée et le signe du terme imaginaire s’inverse. Garder $-4i$ ne conjugue pas le complexe, tandis que changer aussi le signe réel donne l’opposé ou le conjugué de l’opposé.

Question 5

5. On pose $u=2+i$ et $v=1-3i$ . Quelle expression donne $\overline{uv}$ en utilisant la propriété de conjugaison d’un produit ?

\bar u\,\bar v

u\,\bar v

\bar u+\bar v

\bar u\,v

Explication

La conjugaison d’un produit se distribue sur ses deux facteurs : $\overline{uv}=\bar u\,\bar v$ . Les expressions $\bar u\,v$ et $u\,\bar v$ ne conjuguent qu’un facteur, et $\bar u+\bar v$ remplace à tort le produit par une somme.

Question 6

6. Dans un repère orthonormé direct, un point a pour coordonnées $(-3,4)$ . Quelle est son affixe ?

4-3i

3+4i

-3-4i

-3+4i

Explication

L’abscisse donne la partie réelle et l’ordonnée le coefficient de la partie imaginaire, donc l’affixe est $-3+4i$ . $4-3i$ inverse les coordonnées, tandis que les deux autres choix modifient le signe d’une coordonnée.

Question 7

7. Les affixes des points $A$ et $B$ sont respectivement $-1+2i$ et $3-i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

4+3i

-4+3i

4-3i

2+i

Explication

L’affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ : $3-i-(-1+2i)=4-3i$ . $-4+3i$ inverse l’ordre de la soustraction, $2+i$ additionne les affixes et $4+3i$ donne un signe erroné à la partie imaginaire.

Question 8

8. Dans le plan complexe, à quelle grandeur géométrique correspond le module d’un nombre complexe $z$ ?

L’angle associé à la direction de l’image de

z

La distance entre l’origine et l’image de

z

L’abscisse de l’image de

z

La distance entre l’image de

z

et l’axe imaginaire

Explication

Le module $|z|$ est la distance $OM$ entre l’origine et l’image $M$ du complexe. L’abscisse et la distance à l’axe imaginaire décrivent des coordonnées, tandis que l’argument est un angle.

Question 9

9. Pour le complexe $z=-5+12i$ , quelle est la valeur de $|z|$ ?

13

169

12

\sqrt{119}

Explication

On applique $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ : $|z|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ . $169$ oublie la racine, $12$ ignore la partie réelle et $\sqrt{119}$ provient d’une soustraction des carrés.

Question 10

10. Deux complexes ont pour modules $3$ et $4$ . Quel est le module de leur produit ?

144

12

7

1

Explication

Le module d’un produit est le produit des modules : $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=3\times4=12$ . $7$ additionne les modules, $1$ en prend la différence et $144$ élève à tort le résultat au carré.

Question 11

11. Dans le plan complexe, à quel angle correspond un argument de $z$ , où $M$ est l’image de $z$ ?

L’angle orienté de

\overrightarrow{OM}

vers l’axe réel

La distance de l’origine au point

M

L’angle orienté de l’axe réel vers

\overrightarrow{OM}

L’angle orienté de l’axe imaginaire vers

\overrightarrow{OM}

Explication

Un argument mesure l’angle orienté entre l’axe réel et le vecteur allant de l’origine à l’image de $z$ . La distance correspond au module, l’axe imaginaire n’est pas l’axe de référence et inverser l’ordre change l’angle orienté.

Question 12

12. Pour $z=-3+4i$ , dont le module vaut $5$ , un argument $\theta$ vérifie quelles valeurs de cosinus et de sinus ?

\cos\theta=-\frac{5}{3}

et

\sin\theta=\frac{5}{4}

\cos\theta=\frac{4}{5}

et

\sin\theta=-\frac{3}{5}

\cos\theta=\frac{3}{5}

et

\sin\theta=\frac{4}{5}

\cos\theta=-\frac{3}{5}

et

\sin\theta=\frac{4}{5}

Explication

Pour $z=a+ib$ , $\cos\theta=a/|z|$ et $\sin\theta=b/|z|$ ; ici cela donne $-3/5$ et $4/5$ . L’inversion échange les composantes, le signe positif au cosinus ignore $a=-3$ , et placer le module au numérateur inverse les rapports.

Question 13

13. Un complexe non nul a pour module $3$ et pour argument $\frac{\pi}{3}$ . Quelle est sa forme trigonométrique ?

3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\cos\frac{\pi}{3}\right)

\frac{\pi}{3}\left(\cos 3+i\sin 3\right)

3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)

\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}

Explication

La forme trigonométrique d’un complexe non nul est $|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ ; le module vaut ici $3$ et l’argument $\frac{\pi}{3}$ . Utiliser le cosinus pour les deux composantes confond leurs expressions, omettre $3$ perd le module et le placer devant l’expression angulaire ne respecte pas la forme.

Question 14

14. Un complexe non nul a pour module $2$ et pour argument $-\frac{\pi}{4}$ . Quelle est sa forme exponentielle ?

2e^{-i\pi/4}

e^{-i\pi/4}

2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

2e^{i\pi/4}

Explication

La forme exponentielle est $|z|e^{i\alpha}$ ; les données donnent donc $2e^{-i\pi/4}$ . L’expression sans facteur perd le module, l’argument positif change le signe de l’angle, et la dernière expression est la forme trigonométrique.

Question 15

15. Pour un complexe de module $1$ et d’argument $t$ , quelle expression exponentielle permet de calculer $\cos t$ ?

\frac{e^{it}}{2}

e^{it}+e^{-it}

\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}

\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}

Explication

La formule d’Euler exprime le cosinus comme la demi-somme des exponentielles de signes opposés. La somme sans facteur $\frac{1}{2}$ oublie la division, tandis que la différence sur $2i$ correspond au sinus.

Question 16

16. Pour transformer le produit $\cos u\cos v$ en une somme, quelle démarche correspond à la linéarisation par les formules d’Euler ?

Écrire une somme sous forme d’un produit

Écrire le produit sous forme d’un autre produit

Écrire le produit sous forme d’une puissance

Écrire le produit sous forme d’une somme

Explication

La linéarisation consiste à réécrire un produit sous forme de somme, ce qui permet ici de transformer le produit de cosinus. La transformation d’une somme en produit est le sens inverse, et l’élévation à une puissance est une autre opération.

QCM : Les nombres complexes (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture décrit un nombre complexe et les conditions imposées à ses composantes ?

2. Pour $z=6-5i$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Re}(z)$ ?

3. Un complexe est écrit $w=-2+7i$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{Im}(w)$ ?

4. Un complexe vaut $z=3-4i$ . Quelle expression représente son conjugué ?

5. On pose $u=2+i$ et $v=1-3i$ . Quelle expression donne $\overline{uv}$ en utilisant la propriété de conjugaison d’un produit ?

6. Dans un repère orthonormé direct, un point a pour coordonnées $(-3,4)$ . Quelle est son affixe ?

7. Les affixes des points $A$ et $B$ sont respectivement $-1+2i$ et $3-i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

8. Dans le plan complexe, à quelle grandeur géométrique correspond le module d’un nombre complexe $z$ ?

9. Pour le complexe $z=-5+12i$ , quelle est la valeur de $|z|$ ?

10. Deux complexes ont pour modules $3$ et $4$ . Quel est le module de leur produit ?

11. Dans le plan complexe, à quel angle correspond un argument de $z$ , où $M$ est l’image de $z$ ?

12. Pour $z=-3+4i$ , dont le module vaut $5$ , un argument $\theta$ vérifie quelles valeurs de cosinus et de sinus ?

13. Un complexe non nul a pour module $3$ et pour argument $\frac{\pi}{3}$ . Quelle est sa forme trigonométrique ?

14. Un complexe non nul a pour module $2$ et pour argument $-\frac{\pi}{4}$ . Quelle est sa forme exponentielle ?

15. Pour un complexe de module $1$ et d’argument $t$ , quelle expression exponentielle permet de calculer $\cos t$ ?

16. Pour transformer le produit $\cos u\cos v$ en une somme, quelle démarche correspond à la linéarisation par les formules d’Euler ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Socialisation et trajectoires individuelles

Chromosomes et hérédité génétique

Formule de Moivre

Milieux de vie et classification du vivant

Fonction reproductrice masculine

Organisation biologique et tissus

Crée tes propres QCM

QCM : Les nombres complexes (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture décrit un nombre complexe et les conditions imposées à ses composantes ?

2. Pour z=6−5iz=6-5iz=6−5i, quelle est la valeur de Re⁡(z)\operatorname{Re}(z)Re(z) ?

3. Un complexe est écrit w=−2+7iw=-2+7iw=−2+7i. Quelle est la valeur de Im⁡(w)\operatorname{Im}(w)Im(w) ?

4. Un complexe vaut z=3−4iz=3-4iz=3−4i. Quelle expression représente son conjugué ?

5. On pose u=2+iu=2+iu=2+i et v=1−3iv=1-3iv=1−3i. Quelle expression donne uv‾\overline{uv}uv en utilisant la propriété de conjugaison d’un produit ?

6. Dans un repère orthonormé direct, un point a pour coordonnées (−3,4)(-3,4)(−3,4). Quelle est son affixe ?

7. Les affixes des points AAA et BBB sont respectivement −1+2i-1+2i−1+2i et 3−i3-i3−i. Quelle est l’affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}AB ?

8. Dans le plan complexe, à quelle grandeur géométrique correspond le module d’un nombre complexe zzz ?

9. Pour le complexe z=−5+12iz=-5+12iz=−5+12i, quelle est la valeur de ∣z∣|z|∣z∣ ?

10. Deux complexes ont pour modules 333 et 444. Quel est le module de leur produit ?

11. Dans le plan complexe, à quel angle correspond un argument de zzz, où MMM est l’image de zzz ?

12. Pour z=−3+4iz=-3+4iz=−3+4i, dont le module vaut 555, un argument θ\thetaθ vérifie quelles valeurs de cosinus et de sinus ?

13. Un complexe non nul a pour module 333 et pour argument π3\frac{\pi}{3}3π​. Quelle est sa forme trigonométrique ?

14. Un complexe non nul a pour module 222 et pour argument −π4-\frac{\pi}{4}−4π​. Quelle est sa forme exponentielle ?

15. Pour un complexe de module 111 et d’argument ttt, quelle expression exponentielle permet de calculer cos⁡t\cos tcost ?

16. Pour transformer le produit cos⁡ucos⁡v\cos u\cos vcosucosv en une somme, quelle démarche correspond à la linéarisation par les formules d’Euler ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Socialisation et trajectoires individuelles

Chromosomes et hérédité génétique

Formule de Moivre

Milieux de vie et classification du vivant

Fonction reproductrice masculine

Organisation biologique et tissus

Crée tes propres QCM

2. Pour $z=6-5i$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Re}(z)$ ?

3. Un complexe est écrit $w=-2+7i$ . Quelle est la valeur de $\operatorname{Im}(w)$ ?

4. Un complexe vaut $z=3-4i$ . Quelle expression représente son conjugué ?

5. On pose $u=2+i$ et $v=1-3i$ . Quelle expression donne $\overline{uv}$ en utilisant la propriété de conjugaison d’un produit ?

6. Dans un repère orthonormé direct, un point a pour coordonnées $(-3,4)$ . Quelle est son affixe ?

7. Les affixes des points $A$ et $B$ sont respectivement $-1+2i$ et $3-i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

8. Dans le plan complexe, à quelle grandeur géométrique correspond le module d’un nombre complexe $z$ ?

9. Pour le complexe $z=-5+12i$ , quelle est la valeur de $|z|$ ?

10. Deux complexes ont pour modules $3$ et $4$ . Quel est le module de leur produit ?

11. Dans le plan complexe, à quel angle correspond un argument de $z$ , où $M$ est l’image de $z$ ?

12. Pour $z=-3+4i$ , dont le module vaut $5$ , un argument $\theta$ vérifie quelles valeurs de cosinus et de sinus ?

13. Un complexe non nul a pour module $3$ et pour argument $\frac{\pi}{3}$ . Quelle est sa forme trigonométrique ?

14. Un complexe non nul a pour module $2$ et pour argument $-\frac{\pi}{4}$ . Quelle est sa forme exponentielle ?

15. Pour un complexe de module $1$ et d’argument $t$ , quelle expression exponentielle permet de calculer $\cos t$ ?

16. Pour transformer le produit $\cos u\cos v$ en une somme, quelle démarche correspond à la linéarisation par les formules d’Euler ?